Applications of No-Collision Transportation Maps in Manifold Learning

要約

この研究では、[Nurbekyan et.
al., 2020] 画像データの多様体学習における。
最近、動きや変形のような現象を表すデータに輸送ベースの距離や特徴を適用することが急増しています。
実際、固定位置での強度を比較しても、データ構造が明らかにならないことがよくあります。
[Nurbekyan et.] で開発された衝突なしマップと距離。
al., 2020] は、最適交通 (OT) マップと同様の幾何学的特徴に敏感ですが、最適化がないため計算コストがはるかに安くなります。
この研究では、衝突のない距離が、単一の確率尺度の平行移動 (それぞれ膨張) とユークリッド距離を備えた平行移動 (それぞれ膨張) ベクトルの間のアイソメトリを提供することを証明します。
さらに、衝突のない交通マップ、OT および線形化 OT マップは、一般に回転のアイソメトリを提供しないことを証明します。
数値実験は私たちの理論的発見を裏付け、非衝突距離がいくつかの多様な学習タスクにおいて、他の OT およびユークリッドベースの方法と比較して、わずかな計算コストで同等以上のパフォーマンスを達成することを示しています。

要約(オリジナル)

In this work, we investigate applications of no-collision transportation maps introduced in [Nurbekyan et. al., 2020] in manifold learning for image data. Recently, there has been a surge in applying transportation-based distances and features for data representing motion-like or deformation-like phenomena. Indeed, comparing intensities at fixed locations often does not reveal the data structure. No-collision maps and distances developed in [Nurbekyan et. al., 2020] are sensitive to geometric features similar to optimal transportation (OT) maps but much cheaper to compute due to the absence of optimization. In this work, we prove that no-collision distances provide an isometry between translations (respectively dilations) of a single probability measure and the translation (respectively dilation) vectors equipped with a Euclidean distance. Furthermore, we prove that no-collision transportation maps, as well as OT and linearized OT maps, do not in general provide an isometry for rotations. The numerical experiments confirm our theoretical findings and show that no-collision distances achieve similar or better performance on several manifold learning tasks compared to other OT and Euclidean-based methods at a fraction of a computational cost.

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