On Classifying Continuous Constraint Satisfaction Problems

要約

連続制約充足問題 (CCSP) は、区間領域 $U \subset \mathbb{R}$ を持つ制約充足問題 (CSP) です。
私たちは、実存理論を完全に満たした、つまり ER 完全な CCSP を分類するための体系的な研究に取り組んでいます。
このクラスを定義するために、最初に問題 ETR を検討します。これは、実数存在理論の略でもあります。
この問題の例では、 $\exists x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{R} : \Phi(x_1, \ldots, x_n)$ という形式の文が与えられます。ここで、$\Phi$ は
記号 $\{0, 1, +, \cdot, \geq, >, \wedge, \vee, \neg\}$ で構​​成される、整形式の量指定子を含まない数式。目的は、この文が真であるかどうかを確認することです。
。
ここで、クラス ER は、ETR への多項式時間の多対 1 還元を許可するすべての問題の族です。
NP $\subseteq$ ER $\subseteq$ PSPACE であることが知られています。
我々は、加算制約 ($x + y = z$) およびその他の穏やかな技術的条件を持つ CCSP に注目します。
以前に、乗算制約 ($x \cdot y = z$)、二乗制約 ($x^2 = y$)、または反転制約 ($x\cdot y = 1$) が ER- を確立するのに十分であることが示されました。
完全。
これを可能な限り最も強い意味で等式制約に拡張すると、次のようになります。
我々は、いずれか 1 つの適切に動作する曲線等式制約 ($f(x,y) = 0$) を持つ CCSP (加算制約とその他の穏やかな技術的条件を持つ) は ER 完全であることを示します。
さらに結果を不等式制約に拡張します。
行儀の良い凸状曲線と行儀の良い凹状曲線の不等式制約 ($f(x,y) \geq 0$ および $g(x,y) \geq 0$) がクラスの ER 完全性を暗示していることを示します。
そのようなCCSPの。

要約(オリジナル)

A continuous constraint satisfaction problem (CCSP) is a constraint satisfaction problem (CSP) with an interval domain $U \subset \mathbb{R}$. We engage in a systematic study to classify CCSPs that are complete of the Existential Theory of the Reals, i.e., ER-complete. To define this class, we first consider the problem ETR, which also stands for Existential Theory of the Reals. In an instance of this problem we are given some sentence of the form $\exists x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{R} : \Phi(x_1, \ldots, x_n)$, where $\Phi$ is a well-formed quantifier-free formula consisting of the symbols $\{0, 1, +, \cdot, \geq, >, \wedge, \vee, \neg\}$, the goal is to check whether this sentence is true. Now the class ER is the family of all problems that admit a polynomial-time many-one reduction to ETR. It is known that NP $\subseteq$ ER $\subseteq$ PSPACE. We restrict our attention on CCSPs with addition constraints ($x + y = z$) and some other mild technical condition. Previously, it was shown that multiplication constraints ($x \cdot y = z$), squaring constraints ($x^2 = y$), or inversion constraints ($x\cdot y = 1$) are sufficient to establish ER-completeness. We extend this in the strongest possible sense for equality constraints as follows. We show that CCSPs (with addition constraints and some other mild technical condition) that have any one well-behaved curved equality constraint ($f(x,y) = 0$) are ER-complete. We further extend our results to inequality constraints. We show that any well-behaved convexly curved and any well-behaved concavely curved inequality constraint ($f(x,y) \geq 0$ and $g(x,y) \geq 0$) imply ER-completeness on the class of such CCSPs.

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