Physical Information Neural Networks for Solving High-index Differential-algebraic Equation Systems Based on Radau Methods

要約

よく知られているように、動的な変化と根底にある制約を記述することができる微分代数方程式 (DAE) は、流体力学、多体動力学、機械システム、制御理論などの工学分野で広く応用されています。
これらのドメイン内の実際の物理モデリングでは、システムは多くの場合、高指数の DAE を生成します。
一般に、古典的な陰的数値法では、高指数システムを解く際にさまざまな次数で数値精度が低下します。~最近では、物理情報に基づくニューラル ネットワーク (PINN) が DAE システムを解く際に注目を集めています。
ただし、高指数システムを直接解決できないこと、予測精度が低いこと、汎化機能が弱いことなどの課題に直面しています。
この論文では、高指数 DAE を直接解くために、アテンション メカニズムを介して Radau IIA 数値法とニューラル ネットワーク構造を組み合わせた PINN 計算フレームワークを提案します。
さらに、ソリューションの精度を高めるためにドメイン分解戦略を採用しています。
私たちは、例示的な例として 2 つの古典的な高指数システムを使用して数値実験を行い、Radau IIA 法のさまざまな次数がニューラル ネットワーク ソリューションの精度にどのような影響を与えるかを調査しました。
実験結果は、5 次 Radau IIA 法に基づく PINN が最高レベルのシステム精度を達成することを示しています。
具体的には、すべての微分変数の絶対誤差は $10^{-6}$ に抑えられ、代数変数の絶対誤差は $10^{-5}$ に維持され、既存の文献で見つかった結果を上回っています。
したがって、私たちの方法は優れた計算精度と強力な一般化機能を示し、より高いインデックスを持つ大規模DAEや困難な高次元偏微分代数方程式系の高精度解法に実行可能なアプローチを提供します。

要約(オリジナル)

As is well known, differential algebraic equations (DAEs), which are able to describe dynamic changes and underlying constraints, have been widely applied in engineering fields such as fluid dynamics, multi-body dynamics, mechanical systems and control theory. In practical physical modeling within these domains, the systems often generate high-index DAEs. Classical implicit numerical methods typically result in varying order reduction of numerical accuracy when solving high-index systems.~Recently, the physics-informed neural network (PINN) has gained attention for solving DAE systems. However, it faces challenges like the inability to directly solve high-index systems, lower predictive accuracy, and weaker generalization capabilities. In this paper, we propose a PINN computational framework, combined Radau IIA numerical method with a neural network structure via the attention mechanisms, to directly solve high-index DAEs. Furthermore, we employ a domain decomposition strategy to enhance solution accuracy. We conduct numerical experiments with two classical high-index systems as illustrative examples, investigating how different orders of the Radau IIA method affect the accuracy of neural network solutions. The experimental results demonstrate that the PINN based on a 5th-order Radau IIA method achieves the highest level of system accuracy. Specifically, the absolute errors for all differential variables remains as low as $10^{-6}$, and the absolute errors for algebraic variables is maintained at $10^{-5}$, surpassing the results found in existing literature. Therefore, our method exhibits excellent computational accuracy and strong generalization capabilities, providing a feasible approach for the high-precision solution of larger-scale DAEs with higher indices or challenging high-dimensional partial differential algebraic equation systems.

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