On the latent dimension of deep autoencoders for reduced order modeling of PDEs parametrized by random fields

要約

深層学習は、偏微分方程式 (PDE) の次数低減モデル (ROM) の設計に顕著な影響を与えており、従来の手法では失敗する可能性がある複雑な問題に取り組むための強力なツールとして活用されています。
この点において、ディープ オートエンコーダーは、ニューラル ネットワークの非線形機能を利用して特定の問題の次元を削減するための非常に柔軟なツールを提供するため、基本的な役割を果たします。
実際、このパラダイムから出発して、いくつかの成功したアプローチがすでに開発されており、これらをここでは深層学習ベースの ROM (DL-ROM) と呼びます。
それにもかかわらず、ランダム場によってパラメータ化された確率論的問題に関して言えば、DL-ROM の現在の理解は主に経験的証拠に基づいています。実際、DL-ROM の理論的分析は現在、有限数の (決定論的な) に依存する偏微分方程式の場合に限定されています。
パラメーター。
この研究の目的は、ランダム場によって生成される確率性の存在下での DL-ROM の使用に関するいくつかの理論的洞察を提供することにより、既存の文献を拡張することです。
特に、ディープオートエンコーダーの潜在的な次元を選択する際にドメイン実務者をガイドできる明示的なエラー限界を導き出します。
私たちは数値実験によって理論の実際的な有用性を評価し、私たちの分析が DL-ROM のパフォーマンスにどのように大きな影響を与えるかを示します。

要約(オリジナル)

Deep Learning is having a remarkable impact on the design of Reduced Order Models (ROMs) for Partial Differential Equations (PDEs), where it is exploited as a powerful tool for tackling complex problems for which classical methods might fail. In this respect, deep autoencoders play a fundamental role, as they provide an extremely flexible tool for reducing the dimensionality of a given problem by leveraging on the nonlinear capabilities of neural networks. Indeed, starting from this paradigm, several successful approaches have already been developed, which are here referred to as Deep Learning-based ROMs (DL-ROMs). Nevertheless, when it comes to stochastic problems parameterized by random fields, the current understanding of DL-ROMs is mostly based on empirical evidence: in fact, their theoretical analysis is currently limited to the case of PDEs depending on a finite number of (deterministic) parameters. The purpose of this work is to extend the existing literature by providing some theoretical insights about the use of DL-ROMs in the presence of stochasticity generated by random fields. In particular, we derive explicit error bounds that can guide domain practitioners when choosing the latent dimension of deep autoencoders. We evaluate the practical usefulness of our theory by means of numerical experiments, showing how our analysis can significantly impact the performance of DL-ROMs.

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