Gromov-Wassertein-like Distances in the Gaussian Mixture Models Space

要約

この論文では、ガウス混合モデルのセットに 2 つの Gromov-Wasserstein タイプの距離を導入します。
最初のものは、ガウス測度の空間上の 2 つの離散分布間のグロモフ-ヴァッサーシュタイン距離の形式をとります。
この距離は、分布が互いにどれだけ離れているかを評価することだけが必要で、点群間の最適な輸送計画を直接導き出すことはできないアプリケーションに対して、グロモフ・ワッサーシュタインの代替として使用できます。
このような輸送計画を定義する方法を設計するために、グロモフ-ヴァッサーシュタインと密接に関連していることが判明した、比類のない空間に存在するメジャー間の別の距離を導入します。
後者において、許容可能な輸送結合のセットをそれ自体が混合ガウス モデルであるように制限すると、これにより混合ガウス モデル間の別の距離が定義され、グロモフ-ワッサーシュタインの別の代替として使用でき、点間の最適な割り当てを導出できるようになります。
最後に、第 2 の距離からの類推によって第 1 の距離に関連付けられた輸送計画を設計し、形状マッチングやハイパースペクトル画像の色転写などの中規模から大規模な問題に対する実際の使用法を示します。

要約(オリジナル)

In this paper, we introduce two Gromov-Wasserstein-type distances on the set of Gaussian mixture models. The first one takes the form of a Gromov-Wasserstein distance between two discrete distributionson the space of Gaussian measures. This distance can be used as an alternative to Gromov-Wasserstein for applications which only require to evaluate how far the distributions are from each other but does not allow to derive directly an optimal transportation plan between clouds of points. To design a way to define such a transportation plan, we introduce another distance between measures living in incomparable spaces that turns out to be closely related to Gromov-Wasserstein. When restricting the set of admissible transportation couplings to be themselves Gaussian mixture models in this latter, this defines another distance between Gaussian mixture models that can be used as another alternative to Gromov-Wasserstein and which allows to derive an optimal assignment between points. Finally, we design a transportation plan associated with the first distance by analogy with the second, and we illustrate their practical uses on medium-to-large scale problems such as shape matching and hyperspectral image color transfer.

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