Physics-informed neural wavefields with Gabor basis functions

要約

最近、物理情報に基づいたニューラル ネットワーク (PINN) が、偏微分方程式 (PDE) を解く際の多用途な補間機能で大きな注目を集めています。
その可能性にもかかわらず、特に波動場のような複雑な関数の場合、トレーニングは計算量が多くなる場合があります。
これは主に、ニューラルベースの（学習された）基底関数が多項式計算によって支配されており、本質的に波動場に適していないため、低周波数に偏っていることが原因です。
これに応えて、波動方程式を満たすガボール基底関数の線形結合としてニューラル ネットワーク波動解をモデル化することで、ニューラル ネットワーク波動解の効率と精度を向上させるアプローチを提案します。
具体的には、ヘルムホルツ方程式の場合、完全接続ニューラル ネットワーク モデルを、最終隠れ層を構成する適応可能なガボール層で拡張し、これらのガボール ニューロンの重み付き合計を使用して予測 (出力) を計算します。
ガボール関数のこれらの重み/係数は、非線形活性化関数を含む以前の隠れ層から学習されます。
モデル空間全体でガボール層を確実に利用するために、より小さな補助ネットワークを組み込み、入力座標に基づいて各ガボール関数の中心を予測します。
現実的な評価では、特に PINN にとって困難なことが多い高周波および現実的なモデルを含むシナリオにおいて、バニラ PINN と比較したこの新しい実装の有効性が示されています。

要約(オリジナル)

Recently, Physics-Informed Neural Networks (PINNs) have gained significant attention for their versatile interpolation capabilities in solving partial differential equations (PDEs). Despite their potential, the training can be computationally demanding, especially for intricate functions like wavefields. This is primarily due to the neural-based (learned) basis functions, biased toward low frequencies, as they are dominated by polynomial calculations, which are not inherently wavefield-friendly. In response, we propose an approach to enhance the efficiency and accuracy of neural network wavefield solutions by modeling them as linear combinations of Gabor basis functions that satisfy the wave equation. Specifically, for the Helmholtz equation, we augment the fully connected neural network model with an adaptable Gabor layer constituting the final hidden layer, employing a weighted summation of these Gabor neurons to compute the predictions (output). These weights/coefficients of the Gabor functions are learned from the previous hidden layers that include nonlinear activation functions. To ensure the Gabor layer’s utilization across the model space, we incorporate a smaller auxiliary network to forecast the center of each Gabor function based on input coordinates. Realistic assessments showcase the efficacy of this novel implementation compared to the vanilla PINN, particularly in scenarios involving high-frequencies and realistic models that are often challenging for PINNs.

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