Lattice Approximations in Wasserstein Space

要約

$\mathbb{ のスケーリングされたボロノイ分割に基づく離散定数測度および区分定数測度による、$p\in[1,\infty)$ のワッサーシュタイン空間 $W_p(\mathbb{R}^d)$ における測度の構造化近似を検討します。
R}^d$。
フルランク格子 $\Lambda$ が $h\in(0,1]$ の係数でスケーリングされる場合、$h\Lambda$ のボロノイ分割に基づくメジャーの近似は $O(h
$d$ や $p$ に関係なく)$ 次に、カバー引数を使用して、コンパクトにサポートされたメジャーの $N$ 項近似が $O(N^{-\frac1d})$ であることを示します。これは、最適な既知のレートと一致します。
最後に、これらの結果を、十分な減衰を伴う非コンパクトにサポートされた測定に拡張します。

要約(オリジナル)

We consider structured approximation of measures in Wasserstein space $W_p(\mathbb{R}^d)$ for $p\in[1,\infty)$ by discrete and piecewise constant measures based on a scaled Voronoi partition of $\mathbb{R}^d$. We show that if a full rank lattice $\Lambda$ is scaled by a factor of $h\in(0,1]$, then approximation of a measure based on the Voronoi partition of $h\Lambda$ is $O(h)$ regardless of $d$ or $p$. We then use a covering argument to show that $N$-term approximations of compactly supported measures is $O(N^{-\frac1d})$ which matches known rates for optimal quantizers and empirical measure approximation in most instances. Finally, we extend these results to noncompactly supported measures with sufficient decay.

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