Unraveling the Single Tangent Space Fallacy: An Analysis and Clarification for Applying Riemannian Geometry in Robot Learning

要約

ロボット工学の分野では、多数の下流のロボット工学タスクが機械学習手法を活用してデータの処理、モデリング、または合成を行っています。
多くの場合、このデータは、剛体の向きを表す四元数の単位ノルム条件や剛性と操作性楕円体の正定値など、本質的に幾何学的制約を伴う変数で構成されます。
このような幾何学的制約を効果的に処理するには、機械学習手法の定式化に微分幾何学のツールを組み込む必要があります。
この文脈において、リーマン多様体は、そのような幾何学的制約を処理するための強力な数学的枠組みとして浮上します。
それにもかかわらず、ロボット学習における最近のそれらの採用は、数学的に欠陥のある単純化によって主に特徴付けられており、以下「単一接線空間の誤謬」と呼ばれます。
このアプローチには、対象のデータを単一の接線 (ユークリッド) 空間に投影するだけで、その上に既製の学習アルゴリズムが適用されます。
この論文は、このアプローチを取り巻くさまざまな誤解を理論的に説明し、その欠点の実験的証拠を提供します。
最後に、ロボット学習アプリケーション内でリーマン幾何学を使用する際のベスト プラクティスを推進するための貴重な洞察を示します。

要約(オリジナル)

In the realm of robotics, numerous downstream robotics tasks leverage machine learning methods for processing, modeling, or synthesizing data. Often, this data comprises variables that inherently carry geometric constraints, such as the unit-norm condition of quaternions representing rigid-body orientations or the positive definiteness of stiffness and manipulability ellipsoids. Handling such geometric constraints effectively requires the incorporation of tools from differential geometry into the formulation of machine learning methods. In this context, Riemannian manifolds emerge as a powerful mathematical framework to handle such geometric constraints. Nevertheless, their recent adoption in robot learning has been largely characterized by a mathematically-flawed simplification, hereinafter referred to as the “single tangent space fallacy’. This approach involves merely projecting the data of interest onto a single tangent (Euclidean) space, over which an off-the-shelf learning algorithm is applied. This paper provides a theoretical elucidation of various misconceptions surrounding this approach and offers experimental evidence of its shortcomings. Finally, it presents valuable insights to promote best practices when employing Riemannian geometry within robot learning applications.

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