Proportional algebras

要約

類推比率は、それ自体が人工知能の核心である類推推論の核となる、「$a$ は $b$ に対して、$c$ は $d$ である」という形式の表現です。
本稿では、適切な公理集合を満たす4元の類推比例関係$a:b::c:d$を備えた代数として比例代数を紹介する。
類似の比率を維持する関数は、人工知能にとって実用的な興味深いものであることがすでに証明されており、その数学的特性を研究することは比率を理解するために不可欠です。
したがって、比例準同型性とそれに関連する合同式および比例関手を導入し、それらが密接に関連した概念であることを示します。
より広い意味で、この論文は、類推的比例と類推的推論一般の数学理論へのさらなる一歩です。

要約(オリジナル)

Analogical proportions are expressions of the form ‘$a$ is to $b$ what $c$ is to $d$’ at the core of analogical reasoning which itself is at the core of artificial intelligence. This paper introduces proportional algebras as algebras endowed with a 4-ary analogical proportion relation $a:b::c:d$ satisfying a suitable set of axioms. Functions preserving analogical proportions have already proven to be of practical interest in artificial intelligence and studying their mathematical properties is essential for understanding proportions. We therefore introduce proportional homomorphisms and their associated congruences and proportional functors, and show that they are closely related notions. In a broader sense, this paper is a further step towards a mathematical theory of analogical proportions and analogical reasoning in general.

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