Clifford Group Equivariant Neural Networks

要約

$\mathrm{O}(n)$- および $\mathrm{E}(n)$- 等変モデルを構築するための新しいアプローチである、クリフォード群等変ニューラル ネットワークを紹介します。
$\textit{クリフォード群}$ を特定して研究します。クリフォード代数内の部分群であり、その定義を調整していくつかの好ましい特性を達成します。
主に、群の作用は、複数ベクトルのグレーディングを尊重しながら、典型的なベクトル空間を超えてクリフォード代数全体に広がる直交自己同型を形成します。
これにより、マルチベクトル分解に対応するいくつかの非等価な部分表現が生じます。
さらに、このアクションがクリフォード代数のベクトル空間構造だけでなく、その乗法構造、つまり幾何積も考慮していることを証明します。
これらの発見は、マルチベクトルのすべての多項式が暗示しています。言及する価値のある利点は、あらゆる次元の内積空間にエレガントに一般化できる表現力豊かな層が得られることです。
私たちは、特に単一のコア実装から、3次元 $n$-body 実験、4 次元ローレンツ等変高エネルギー物理実験、および
5次元凸包実験。

要約(オリジナル)

We introduce Clifford Group Equivariant Neural Networks: a novel approach for constructing $\mathrm{O}(n)$- and $\mathrm{E}(n)$-equivariant models. We identify and study the $\textit{Clifford group}$, a subgroup inside the Clifford algebra whose definition we adjust to achieve several favorable properties. Primarily, the group’s action forms an orthogonal automorphism that extends beyond the typical vector space to the entire Clifford algebra while respecting the multivector grading. This leads to several non-equivalent subrepresentations corresponding to the multivector decomposition. Furthermore, we prove that the action respects not just the vector space structure of the Clifford algebra but also its multiplicative structure, i.e., the geometric product. These findings imply that every polynomial in multivectors, An advantage worth mentioning is that we obtain expressive layers that can elegantly generalize to inner-product spaces of any dimension. We demonstrate, notably from a single core implementation, state-of-the-art performance on several distinct tasks, including a three-dimensional $n$-body experiment, a four-dimensional Lorentz-equivariant high-energy physics experiment, and a five-dimensional convex hull experiment.

arxiv情報

提供元, 利用サービス

arxiv.jp, Google