ChatGPT for Computational Topology

要約

ChatGPT は、人工知能 (AI) の分野における重要なマイルストーンであり、さまざまなドメインにわたって広範なアプリケーションが見つかります。
ただし、数学的文脈におけるその有効性は、概念的な誤りの影響を受けやすいため、ある程度制限されてきました。
同時に、比較的新しい分野であるトポロジカル データ分析 (TDA) が近年大きな関心を集めています。
それにもかかわらず、TDA の進歩は、理論家の計算アルゴリズムとコーディングの熟練度に対する理解が限られているために妨げられています。
この研究は、ChatGPT の利用を通じて、理論的なトポロジ概念と計算トポロジにおける実際の実装の間のギャップを埋めることを目指しています。
計算経験やコーディング スキルを持たない純粋な理論家が、ChatGPT の支援を受けて数学的定式化と概念を計算トポロジの関数コードに効果的に変換する方法を紹介します。
私たちの戦略は、数学者が純粋な数学的概念に基づいて ChatGPT をトレーニングし、計算トポロジ コードの生成に向けて ChatGPT を操作し、その後確立された例を使用して生成されたコードを検証する生産的なプロセスを概説します。
私たちの具体的なケーススタディには、単純複素数のベッティ数、ラプラシアン行列、ディラック行列の計算、およびさまざまな相同性とラプラシアンの永続性が含まれます。
さらに、最近開発されたハイパーグラフとダイグラフのトポロジー理論の計算における ChatGPT の応用を探ります。
この研究は、純粋な数学理論を実用的な計算ツールに効果的に変換するための最初のステップとして機能し、さまざまな分野にわたって実際のアプリケーションを可能にするという最終目標を掲げています。

要約(オリジナル)

ChatGPT represents a significant milestone in the field of artificial intelligence (AI), finding widespread applications across diverse domains. However, its effectiveness in mathematical contexts has been somewhat constrained by its susceptibility to conceptual errors. Concurrently, topological data analysis (TDA), a relatively new discipline, has garnered substantial interest in recent years. Nonetheless, the advancement of TDA is impeded by the limited understanding of computational algorithms and coding proficiency among theoreticians. This work endeavors to bridge the gap between theoretical topological concepts and their practical implementation in computational topology through the utilization of ChatGPT. We showcase how a pure theoretician, devoid of computational experience and coding skills, can effectively transform mathematical formulations and concepts into functional code for computational topology with the assistance of ChatGPT. Our strategy outlines a productive process wherein a mathematician trains ChatGPT on pure mathematical concepts, steers ChatGPT towards generating computational topology code, and subsequently validates the generated code using established examples. Our specific case studies encompass the computation of Betti numbers, Laplacian matrices, and Dirac matrices for simplicial complexes, as well as the persistence of various homologies and Laplacians. Furthermore, we explore the application of ChatGPT in computing recently developed topological theories for hypergraphs and digraphs. This work serves as an initial step towards effectively transforming pure mathematical theories into practical computational tools, with the ultimate goal of enabling real applications across diverse fields.

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