CoNO: Complex Neural Operator for Continuous Dynamical Systems

要約

ニューラルネットワーク演算子は、データ駆動モデルを拡張し、無限次元関数空間間のマッピングを行う。これらのモデルは、天気予報、流体流れ、固体力学など、微分方程式で表される連続的な力学系の解法に成功している。しかし、既存の演算子は実空間に依存しているため、関数変換によって複素空間に取り込まれる可能性のある豊かな表現を失っている。本論文では、複素分数フーリエ領域で積分カーネルをパラメータ化する複素ニューラルネットワーク演算子(CoNO)を紹介する。さらに、エイリアシングのない活性化関数とともに複素ニューラルネットワークを採用したモデルは、複素数値と複素代数的性質を保持し、それによって表現力、ノイズに対する頑健性、汎化性を向上させる。このモデルは、1回の複素分数フーリエ変換で基礎となる偏微分方程式を効果的に捉えることを示す。いくつかのデータセットと、ゼロショット超解像、分布外データの評価、データ効率、ノイズに対する頑健性などの追加タスクについて、CoNOの広範な実証的評価を行った。CoNOは、これらのタスクにおいて、すべての最先端モデルと同等かそれ以上の性能を示した。総じて、CoNOは連続的な力学系をモデル化するためのロバストで優れたモデルを提示し、科学的な機械学習に弾みをつける。

要約(オリジナル)

Neural operators extend data-driven models to map between infinite-dimensional functional spaces. These models have successfully solved continuous dynamical systems represented by differential equations, viz weather forecasting, fluid flow, or solid mechanics. However, the existing operators still rely on real space, thereby losing rich representations potentially captured in the complex space by functional transforms. In this paper, we introduce a Complex Neural Operator (CoNO), that parameterizes the integral kernel in the complex fractional Fourier domain. Additionally, the model employing a complex-valued neural network along with aliasing-free activation functions preserves the complex values and complex algebraic properties, thereby enabling improved representation, robustness to noise, and generalization. We show that the model effectively captures the underlying partial differential equation with a single complex fractional Fourier transform. We perform an extensive empirical evaluation of CoNO on several datasets and additional tasks such as zero-shot super-resolution, evaluation of out-of-distribution data, data efficiency, and robustness to noise. CoNO exhibits comparable or superior performance to all the state-of-the-art models in these tasks. Altogether, CoNO presents a robust and superior model for modeling continuous dynamical systems, providing a fillip to scientific machine learning.

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