On the Power of the Weisfeiler-Leman Test for Graph Motif Parameters

要約

グラフ ニューラル ネットワーク (GNN) の分野における独創的な研究により、GNN の表現能力と、グラフの同型性を検証するための広く認められた方法である $k$ 次元のヴァイスファイラー レーマン ($k$WL) テストとの間に直接の対応関係があることが明らかになりました。
。
この関連性により、$k$WL テストによって効果的に区別できる特定のグラフのプロパティを理解することへの関心が再燃しました。
この分野の研究の中心は、最小次元 $k$ を決定することにあり、$k$WL は、パターン グラフ $P$ の出現数が異なるグラフを識別できます。
このような最小 $k$ を、このパターンカウント問題の WL 次元と呼びます。
この調査では伝統的に、パターンに関連する 2 つの異なる計数問題、つまりサブグラフの計数と誘導サブグラフの計数を詳しく調べてきました。
興味深いことに、最初は一見異なるアプローチによる別々の課題のように見えましたが、これらの問題は両方とも、より包括的な問題である「グラフ モチーフ パラメーター」の相互に関連したコンポーネントです。
この論文では、ラベル付きグラフ モチーフ パラメーターの WL 次元の正確な特徴付けを提供します。
この結果の具体例として、すべてのラベル付きパターン $P$ について、部分グラフの計数と誘発された部分グラフの計数問題の WL 次元の特性を取得します。
さらに、$k$WL テストがパターン $P$ の出現が異なるグラフを区別する場合、$P$ の正確な出現数は、対応する最後の層のローカル情報のみを使用して均一に計算できることを示します。
GNN。
最後に、さまざまなグラフ パラメーターの WL 次元を認識するという課題を掘り下げます。
与えられたパターン $P$ に対する部分グラフ計数問題の WL 次元を決定するための多項式時間アルゴリズムを提供し、以前の研究からの未解決の質問に答えます。

要約(オリジナル)

Seminal research in the field of graph neural networks (GNNs) has revealed a direct correspondence between the expressive capabilities of GNNs and the $k$-dimensional Weisfeiler-Leman ($k$WL) test, a widely-recognized method for verifying graph isomorphism. This connection has reignited interest in comprehending the specific graph properties effectively distinguishable by the $k$WL test. A central focus of research in this field revolves around determining the least dimensionality $k$, for which $k$WL can discern graphs with different number of occurrences of a pattern graph $P$. We refer to such a least $k$ as the WL-dimension of this pattern counting problem. This inquiry traditionally delves into two distinct counting problems related to patterns: subgraph counting and induced subgraph counting. Intriguingly, despite their initial appearance as separate challenges with seemingly divergent approaches, both of these problems are interconnected components of a more comprehensive problem: ‘graph motif parameters’. In this paper, we provide a precise characterization of the WL-dimension of labeled graph motif parameters. As specific instances of this result, we obtain characterizations of the WL-dimension of the subgraph counting and induced subgraph counting problem for every labeled pattern $P$. We additionally demonstrate that in cases where the $k$WL test distinguishes between graphs with varying occurrences of a pattern $P$, the exact number of occurrences of $P$ can be computed uniformly using only local information of the last layer of a corresponding GNN. We finally delve into the challenge of recognizing the WL-dimension of various graph parameters. We give a polynomial time algorithm for determining the WL-dimension of the subgraph counting problem for given pattern $P$, answering an open question from previous work.

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