Wasserstein Dictionaries of Persistence Diagrams

要約

この論文は、アトム ダイアグラムの辞書の重み付き Wasserstein 重心 [100]、[102] の形式で、永続性ダイアグラムのアンサンブルを簡潔にエンコードするための計算フレームワークを提示します。
対応する最小化問題を効率的に解決するために、重心重みの最適化と原子図の最適化を交互に行うマルチスケール勾配降下法を導入します。
私たちのアプローチは、両方の部分問題の勾配の解析式を活用して高速な反復を保証し、さらに共有メモリの並列処理を利用します。
公開アンサンブルでの広範な実験により、最大の例でワッサーシュタイン辞書の計算が数分程度で完了するという、私たちのアプローチの効率性が実証されました。
私たちは 2 つのアプリケーションで私たちの貢献の有用性を示します。
まず、Wasserstein 辞書をデータ削減に適用し、辞書内の重みで永続性図を簡潔に表現することで永続性図を確実に圧縮します。
次に、少数の原子 (通常は 3 つ) で定義された Wasserstein 辞書に基づく次元削減フレームワークを提示し、その辞書を視覚空間 (通常は 2D) に埋め込まれた低次元シンプレックスとしてエンコードします。
どちらのアプリケーションでも、定量的な実験によりフレームワークの関連性が評価されます。
最後に、結果を再現するために使用できる C++ 実装を提供します。

要約(オリジナル)

This paper presents a computational framework for the concise encoding of an ensemble of persistence diagrams, in the form of weighted Wasserstein barycenters [100], [102] of a dictionary of atom diagrams. We introduce a multi-scale gradient descent approach for the efficient resolution of the corresponding minimization problem, which interleaves the optimization of the barycenter weights with the optimization of the atom diagrams. Our approach leverages the analytic expressions for the gradient of both sub-problems to ensure fast iterations and it additionally exploits shared-memory parallelism. Extensive experiments on public ensembles demonstrate the efficiency of our approach, with Wasserstein dictionary computations in the orders of minutes for the largest examples. We show the utility of our contributions in two applications. First, we apply Wassserstein dictionaries to data reduction and reliably compress persistence diagrams by concisely representing them with their weights in the dictionary. Second, we present a dimensionality reduction framework based on a Wasserstein dictionary defined with a small number of atoms (typically three) and encode the dictionary as a low dimensional simplex embedded in a visual space (typically in 2D). In both applications, quantitative experiments assess the relevance of our framework. Finally, we provide a C++ implementation that can be used to reproduce our results.

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