Decomposition of linear tensor transformations

要約

テンソル分解を計算する際の主な問題の 1 つは、テンソルのランクを決定する有限のアルゴリズムがないため、ランク 1 成分の数をどのように選択するかということです。
この目的で一般的に使用されるアプローチは、コンポーネントの数が固定されていると仮定して最適化問題を解くことによって、低次元の部分空間を見つけることです。
ただし、このアルゴリズムは効率的で実装が簡単ではありますが、多くの場合、不十分な極小値に収束し、外れ値やノイズに悩まされます。
この論文の目的は、テンソルを有限数の低ランク テンソルの合計として表現できる正確なテンソル分解のための数学的フレームワークを開発することです。
この論文では、以下を導き出すために 3 つの異なる問題が実行されます。 i) 非負の自己共役テンソル演算子の分解。
ii) 線形テンソル変換の分解。
iii) 一般テンソルの分解。

要約(オリジナル)

One of the main issues in computing a tensor decomposition is how to choose the number of rank-one components, since there is no finite algorithms for determining the rank of a tensor. A commonly used approach for this purpose is to find a low-dimensional subspace by solving an optimization problem and assuming the number of components is fixed. However, even though this algorithm is efficient and easy to implement, it often converges to poor local minima and suffers from outliers and noise. The aim of this paper is to develop a mathematical framework for exact tensor decomposition that is able to represent a tensor as the sum of a finite number of low-rank tensors. In the paper three different problems will be carried out to derive: i) the decomposition of a non-negative self-adjoint tensor operator; ii) the decomposition of a linear tensor transformation; iii) the decomposition of a generic tensor.

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