Review of the Exponential and Cayley Map on SE(3) as relevant for Lie Group Integration of the Generalized Poisson Equation and Flexible Multibody Systems

要約

SE(3) の指数関数マップとケイリー マップは、剛体システムと柔軟体システムのリー群積分スキームで使用される一般的な座標マップです。
このような幾何積分器は、Munthe-Kaas スキームと一般化アルファ スキームであり、それぞれの座標マップの微分とその方向導関数が含まれます。
過去 20 年間に報告された関連する閉じた形式の表現は文献中に散在しており、一部は証拠なしで報告されています。
この文書は、関連するすべての閉じた形式の関係を、関連する証明とともに要約した参考資料を提供します。
これには、指数関数マップとケイリー マップの右自微分微分およびそれらの方向導関数 (ヘッセ行列に似た) が含まれます。
後者は、計算効率が向上した Cayley マップの観点から、リジッド/フレキシブル多体システムの暗黙的な一般化アルファ スキームを生み出します。

要約(オリジナル)

The exponential and Cayley map on SE(3) are the prevailing coordinate maps used in Lie group integration schemes for rigid body and flexible body systems. Such geometric integrators are the Munthe-Kaas and generalized-alpha schemes, which involve the differential and its directional derivative of the respective coordinate map. Relevant closed form expressions, which were reported over the last two decades, are scattered in the literature, and some are reported without proof. This paper provides a reference summarizing all relevant closed form relations along with the relevant proofs. including the right-trivialized differential of the exponential and Cayley map and their directional derivatives (resembling the Hessian). The latter gives rise to an implicit generalized-alpha scheme for rigid/flexible multibody systems in terms of the Cayley map with improved computational efficiency.

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