Machine learning the dimension of a Fano variety

要約

ファノ多様体は幾何学の基本的な構成要素であり、数学的形状の「原子の部分」です。
ファノ品種の分類における最近の進歩には、量子周期と呼ばれる不変量の分析が含まれます。
これは、Fano 品種の数値的なフィンガープリントを与える整数のシーケンスです。
ファノ品種はその量子周期によって一意に決定されると推測されています。
これが本当であれば、ファノ品種の幾何学的特性をその量子周期から直接復元できるはずです。
「X の量子周期は X の次元を知っていますか?」という質問に機械学習を適用します。
これについてはまだ理論的に理解されていないことに注意してください。
単純なフィードフォワード ニューラル ネットワークが X の次元を 98% の精度で決定できることを示します。
これに基づいて、Fano 多様体のクラスの量子周期に対する厳密な漸近線を確立します。
これらの漸近線は、量子周期から X の次元を決定します。
私たちの結果は、理論的な理解が不足している状況でも、機械学習が複雑な数学的データから構造を見つけ出すことができることを示しています。
彼らはまた、ファノ品種の量子周期がその品種を決定するという予想の肯定的な証拠を与えます。

要約(オリジナル)

Fano varieties are basic building blocks in geometry – they are `atomic pieces’ of mathematical shapes. Recent progress in the classification of Fano varieties involves analysing an invariant called the quantum period. This is a sequence of integers which gives a numerical fingerprint for a Fano variety. It is conjectured that a Fano variety is uniquely determined by its quantum period. If this is true, one should be able to recover geometric properties of a Fano variety directly from its quantum period. We apply machine learning to the question: does the quantum period of X know the dimension of X? Note that there is as yet no theoretical understanding of this. We show that a simple feed-forward neural network can determine the dimension of X with 98% accuracy. Building on this, we establish rigorous asymptotics for the quantum periods of a class of Fano varieties. These asymptotics determine the dimension of X from its quantum period. Our results demonstrate that machine learning can pick out structure from complex mathematical data in situations where we lack theoretical understanding. They also give positive evidence for the conjecture that the quantum period of a Fano variety determines that variety.

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