Combinative Cumulative Knowledge Processes

要約

私たちは、Ben-Eliezer、Mikulincer、Mossel、Sudan (ITCS 2023) によって導入された累積的知識プロセスを、「有向非巡回グラフ」の設定、つまり、以前の複数の知識単位を組み合わせることによって新しい知識単位が導出される場合に分析します。
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このモデルでの主な考慮事項は、エラーの役割 (新しい単位が間違っている可能性がある場合) とローカル チェック (新しい知識単位が発見されたときに、いくつかの先行知識単位がチェックされる場合) です。
前述の研究ではこのモデルを定義しましたが、理想化され単純化された「ツリー状」設定、つまり、新しい知識単位が以前に生成された 1 つの知識単位にのみ直接依存する設定のみを分析しました。
私たちの研究の主な目標は、一般的なプロセスがいつ安全であるか、つまりエラーの影響が制御下にあるときを理解することです。
安全のための必要条件と十分条件をいくつか示します。
以前の研究と同様に、チェックの頻度とチェックの深さが安全性を判断する上で重要な役割を果たすことを実証しました。
現在の研究における重要な新しいパラメータは、新しい知識単位が依存する古い知識の単位 $M$ の数の分布である $\textit{組み合わせ係数}$ です。
私たちの結果は、結合係数が大きいと検査の深さが浅いことを補うことができることを示しています。
安全性が組み合わせ要因に依存することは決して簡単ではありません。
実際、主な結果の一部は $\mathbb{E}\{1/M\}$ に関して記述されていますが、他の結果は $\mathbb{E}\{M\}$ に依存しています。

要約(オリジナル)

We analyze Cumulative Knowledge Processes, introduced by Ben-Eliezer, Mikulincer, Mossel, and Sudan (ITCS 2023), in the setting of ‘directed acyclic graphs’, i.e., when new units of knowledge may be derived by combining multiple previous units of knowledge. The main considerations in this model are the role of errors (when new units may be erroneous) and local checking (where a few antecedent units of knowledge are checked when a new unit of knowledge is discovered). The aforementioned work defined this model but only analyzed an idealized and simplified ‘tree-like’ setting, i.e., a setting where new units of knowledge only depended directly on one previously generated unit of knowledge. The main goal of our work is to understand when the general process is safe, i.e., when the effect of errors remains under control. We provide some necessary and some sufficient conditions for safety. As in the earlier work, we demonstrate that the frequency of checking as well as the depth of the checks play a crucial role in determining safety. A key new parameter in the current work is the $\textit{combination factor}$ which is the distribution of the number of units $M$ of old knowledge that a new unit of knowledge depends on. Our results indicate that a large combination factor can compensate for a small depth of checking. The dependency of the safety on the combination factor is far from trivial. Indeed some of our main results are stated in terms of $\mathbb{E}\{1/M\}$ while others depend on $\mathbb{E}\{M\}$.

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