The Descriptive Complexity of Graph Neural Networks

要約

ブール回路の複雑さと記述の複雑さの観点から、グラフ ニューラル ネットワーク (GNN) の能力を分析します。
多項式サイズの有界深さファミリーの GNN によって計算できるグラフ クエリは、カウントと組み込み関係を備えた 1 次ロジックのガード フラグメント GFO+C で定義できるものであることを証明します。
これにより、GNN は回路の複雑さのクラス TC^0 に分類されます。
注目すべきことに、GNN ファミリは、任意の実重みと、標準 ReLU、ロジスティック ‘sigmod’、および双曲線正接関数を含む広範なクラスの活性化関数を使用できます。
GNN がランダム初期化とグローバル読み出し (どちらも実際に広く使用されている GNN の標準機能) を使用できる場合、しきい値ゲートを備えた深さ制限付きのブール回路とまったく同じクエリ、つまり TC^0 のクエリを正確に計算できます。
。
さらに、区分的線形活性化と有理重みを備えた単一の GNN によって計算可能なクエリが、組み込み関係なしで GFO+C で定義できることを示します。
したがって、均一な TC^0 に含まれます。

要約(オリジナル)

We analyse the power of graph neural networks (GNNs) in terms of Boolean circuit complexity and descriptive complexity. We prove that the graph queries that can be computed by a polynomial-size bounded-depth family of GNNs are exactly those definable in the guarded fragment GFO+C of first-order logic with counting and with built-in relations. This puts GNNs in the circuit complexity class TC^0. Remarkably, the GNN families may use arbitrary real weights and a wide class of activation functions that includes the standard ReLU, logistic ‘sigmod’, and hyperbolic tangent functions. If the GNNs are allowed to use random initialisation and global readout (both standard features of GNNs widely used in practice), they can compute exactly the same queries as bounded depth Boolean circuits with threshold gates, that is, exactly the queries in TC^0. Moreover, we show that queries computable by a single GNN with piecewise linear activations and rational weights are definable in GFO+C without built-in relations. Therefore, they are contained in uniform TC^0.

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