Sparse resultant based minimal solvers in computer vision and their connection with the action matrix

要約

多くのコンピュータビジョンアプリケーションでは、最小数の入力データ測定値からカメラ形状をロバストかつ効率的に推定すること、すなわちRANSACフレームワークで最小問題を解くことが要求される。最小問題は通常、疎な多項式の複雑な系として定式化される。この系は通常過剰決定であり、代数的に制約された係数を持つ多項式で構成される。最新の効率的な多項式ソルバーのほとんどは、近年自動化され高度に最適化された作用行列法に基づいている。一方、スパース結果とニュートン多項式の代替理論は、効率的なソルバーの生成にはあまり成功していない。そこで本論文では、ニュートン多角形の様々な部分集合をテストし、最も効率的なソルバーを探索する簡単な反復スキームを提案する。さらに、シューアの補数計算によってソルバーの効率をさらに向上させるために、特殊な形式の余分な多項式を用いることを提案する。我々は、いくつかのカメラ形状問題に対して、我々の余分な多項式に基づく方法が、最新のGrobner基底に基づくソルバーよりも小さく安定なソルバーにつながることを示す。提案手法は完全に自動化でき、効率的な多項式ソルバーを自動生成する既存のツールに組み込むことができる。本手法は、コンピュータビジョンにおける最小問題に対して、一般的なGrobner基底に基づく手法に代わる競争力のある手法を提供する。また、最新の作用行列に基づく手法と、提案する余分な多項式の結果に基づく手法によって生成される最小ソルバーが等価である条件についても研究する。具体的には、作用行列に基づく手法と疎な結果に基づく手法の段階的比較と、それに続く一連の置換を検討する。

要約(オリジナル)

Many computer vision applications require robust and efficient estimation of camera geometry from a minimal number of input data measurements, i.e., solving minimal problems in a RANSAC framework. Minimal problems are usually formulated as complex systems of sparse polynomials. The systems usually are overdetermined and consist of polynomials with algebraically constrained coefficients. Most state-of-the-art efficient polynomial solvers are based on the action matrix method that has been automated and highly optimized in recent years. On the other hand, the alternative theory of sparse resultants and Newton polytopes has been less successful for generating efficient solvers, primarily because the polytopes do not respect the constraints on the coefficients. Therefore, in this paper, we propose a simple iterative scheme to test various subsets of the Newton polytopes and search for the most efficient solver. Moreover, we propose to use an extra polynomial with a special form to further improve the solver efficiency via a Schur complement computation. We show that for some camera geometry problems our extra polynomial-based method leads to smaller and more stable solvers than the state-of-the-art Grobner basis-based solvers. The proposed method can be fully automated and incorporated into existing tools for automatic generation of efficient polynomial solvers. It provides a competitive alternative to popular Grobner basis-based methods for minimal problems in computer vision. We also study the conditions under which the minimal solvers generated by the state-of-the-art action matrix-based methods and the proposed extra polynomial resultant-based method, are equivalent. Specifically we consider a step-by-step comparison between the approaches based on the action matrix and the sparse resultant, followed by a set of substitutions, which would lead to equivalent minimal solvers.

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