Lie-Poisson Neural Networks (LPNets): Data-Based Computing of Hamiltonian Systems with Symmetries

要約

ハミルトン系の長期進化をデータに基づいて正確に予測するには、各時間ステップで適切な構造を保存するネットワークが必要です。
すべてのハミルトニアン システムには、ポアソン ブラケットとハミルトニアンという 2 つの必須要素が含まれています。
リー・ポアソン系をパラダイム例とする対称性のあるハミルトニアン系は、衛星の運動から水中車両、流体、地球物理学的応用、複雑な流体、プラズマ物理学に至るまで、幅広いカテゴリーの物理現象を記述することが示されています。
これらのシステムのポアソン ブラケットは対称性に由来し、ハミルトニアンは基礎となる物理学に由来します。
私たちは系の対称性を主要なものと見なしているため、リー ポアソン ブラケットは正確に知られていますが、ハミルトニアンは物理学から来たものとみなされ、知られていない、またはおおよそ既知であると考えられます。
このアプローチを使用して、ポアソン ブラケットとリー ポアソン システム (カシミール) の特別な関数を機械精度に正確に保存する変換に基づいたネットワークを開発します。
このようなシステムには 2 つの種類があり、1 つは高密度ニューラル ネットワーク (LPNet) を使用してデータから変換のパラメーターが計算されるシステム、もう 1 つは変換の構成がビルディング ブロックとして使用されるシステム (G-LPNet) です。
また、これらのメソッドをより大きなクラスのポアソン括弧に適応させる方法も示します。
結果として得られたメソッドを、剛体 (衛星) の動き、水中車両、磁場内の粒子などのいくつかの例に適用します。
この論文で開発された方法は、物理システムの長期的なダイナミクスをシミュレーションするための正確なデータベースの方法を構築するために重要です。

要約(オリジナル)

An accurate data-based prediction of the long-term evolution of Hamiltonian systems requires a network that preserves the appropriate structure under each time step. Every Hamiltonian system contains two essential ingredients: the Poisson bracket and the Hamiltonian. Hamiltonian systems with symmetries, whose paradigm examples are the Lie-Poisson systems, have been shown to describe a broad category of physical phenomena, from satellite motion to underwater vehicles, fluids, geophysical applications, complex fluids, and plasma physics. The Poisson bracket in these systems comes from the symmetries, while the Hamiltonian comes from the underlying physics. We view the symmetry of the system as primary, hence the Lie-Poisson bracket is known exactly, whereas the Hamiltonian is regarded as coming from physics and is considered not known, or known approximately. Using this approach, we develop a network based on transformations that exactly preserve the Poisson bracket and the special functions of the Lie-Poisson systems (Casimirs) to machine precision. We present two flavors of such systems: one, where the parameters of transformations are computed from data using a dense neural network (LPNets), and another, where the composition of transformations is used as building blocks (G-LPNets). We also show how to adapt these methods to a larger class of Poisson brackets. We apply the resulting methods to several examples, such as rigid body (satellite) motion, underwater vehicles, a particle in a magnetic field, and others. The methods developed in this paper are important for the construction of accurate data-based methods for simulating the long-term dynamics of physical systems.

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