Symplectic model reduction of Hamiltonian systems using data-driven quadratic manifolds

要約

この研究では、データ駆動型 2 次多様体を使用した高次元ハミルトニアン システムのシンプレクティック モデル削減のための 2 つの新しいアプローチを紹介します。
古典的なシンプレクティック モデル縮小アプローチでは、縮小次元座標系で高次元システムの状態を表すために線形シンプレクティック部分空間が使用されます。
これらの近似はハミルトニアン系のシンプレクティックな性質を尊重しますが、線形基底近似はコルモゴロフ $N$ 幅がゆっくり減衰する影響を受ける可能性があり、特に波型問題では大きな基底サイズが必要になります。
我々は、最近開発された二次多様体に基づいた 2 つの異なるモデル削減方法を提案しますが、それぞれに独自の利点と制限があります。
提案された方法論の中心となる状態近似に二次項を追加することにより、当面の問題の本質的な低次元性をより適切に表現できるようになります。
どちらのアプローチも、線形シンプレクティック低次数モデルよりも正確なソリューションを提供しながら、トレーニング データの範囲をはるかに超えた設定で予測を行うのに効果的です。

要約(オリジナル)

This work presents two novel approaches for the symplectic model reduction of high-dimensional Hamiltonian systems using data-driven quadratic manifolds. Classical symplectic model reduction approaches employ linear symplectic subspaces for representing the high-dimensional system states in a reduced-dimensional coordinate system. While these approximations respect the symplectic nature of Hamiltonian systems, linear basis approximations can suffer from slowly decaying Kolmogorov $N$-width, especially in wave-type problems, which then requires a large basis size. We propose two different model reduction methods based on recently developed quadratic manifolds, each presenting its own advantages and limitations. The addition of quadratic terms to the state approximation, which sits at the heart of the proposed methodologies, enables us to better represent intrinsic low-dimensionality in the problem at hand. Both approaches are effective for issuing predictions in settings well outside the range of their training data while providing more accurate solutions than the linear symplectic reduced-order models.

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