Learning Only On Boundaries: a Physics-Informed Neural operator for Solving Parametric Partial Differential Equations in Complex Geometries

要約

最近、深層学習サロゲートとニューラル オペレーターが偏微分方程式 (PDE) を解くのに有望であることが示されました。
ただし、多くの場合、大量のトレーニング データが必要となり、制限されたドメインに限定されます。
この研究では、ラベル付きデータを使用せずにパラメータ化された境界値問題を解決する、物理学に基づいた新しいニューラル オペレーター手法を紹介します。
PDE を境界積分方程式 (BIE) に再定式化することにより、ドメインの境界のみでオペレーター ネットワークをトレーニングできます。
このアプローチにより、必要なサンプル ポイントの数が $O(N^d)$ から $O(N^{d-1})$ ($d$ はドメインの次元) に減り、トレーニング プロセスが大幅に高速化されます。
。
さらに、私たちの方法は、既存の物理情報に基づくニューラル ネットワーク (PINN) やニューラル オペレーターでは達成できない、無制限の問題を処理できます。
私たちの数値実験は、パラメータ化された複雑な幾何学形状と境界のない問題の有効性を示しています。

要約(オリジナル)

Recently deep learning surrogates and neural operators have shown promise in solving partial differential equations (PDEs). However, they often require a large amount of training data and are limited to bounded domains. In this work, we present a novel physics-informed neural operator method to solve parametrized boundary value problems without labeled data. By reformulating the PDEs into boundary integral equations (BIEs), we can train the operator network solely on the boundary of the domain. This approach reduces the number of required sample points from $O(N^d)$ to $O(N^{d-1})$, where $d$ is the domain’s dimension, leading to a significant acceleration of the training process. Additionally, our method can handle unbounded problems, which are unattainable for existing physics-informed neural networks (PINNs) and neural operators. Our numerical experiments show the effectiveness of parametrized complex geometries and unbounded problems.

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