Machine learning assisted exploration for affine Deligne-Lusztig varieties

要約

この論文では、機械学習 (ML) 支援フレームワークを利用してアフィン ドリーニュ・ルシュティヒ多様体 (ADLV) の幾何学を探索する、新しい学際的な研究を紹介します。
主な目的は、ADLV の既約要素の非空性パターン、次元、列挙を調査することです。
私たちが提案したフレームワークは、データ生成、モデル トレーニング、パターン分析、人間による検査の再帰的パイプラインを示し、ML と純粋な数学的研究の間の複雑な相互作用を示しています。
特に、当社のデータ生成プロセスは微妙であり、意味のあるサブセットと適切な特徴セットの選択に重点が置かれています。
私たちは、このフレームワークが純粋な数学的研究を加速する可能性を秘めており、そうでなければ明らかにするのに多大な時間がかかる可能性のある新しい予想や有望な研究の方向性の発見につながる可能性があることを実証します。
私たちは仮想次元の公式を再発見し、次元の特定の下限に関する新たに特定された問題の完全な数学的証明を提供します。
さらに、ADLV と ML モデルをコンピューティングするためのソース コードを提供することで読者を公募し、さらなる探索を促進します。
この文書は、貴重な経験を共有し、このコラボレーションから得られた教訓を強調して締めくくります。

要約(オリジナル)

This paper presents a novel, interdisciplinary study that leverages a Machine Learning (ML) assisted framework to explore the geometry of affine Deligne-Lusztig varieties (ADLV). The primary objective is to investigate the nonemptiness pattern, dimension and enumeration of irreducible components of ADLV. Our proposed framework demonstrates a recursive pipeline of data generation, model training, pattern analysis, and human examination, presenting an intricate interplay between ML and pure mathematical research. Notably, our data-generation process is nuanced, emphasizing the selection of meaningful subsets and appropriate feature sets. We demonstrate that this framework has a potential to accelerate pure mathematical research, leading to the discovery of new conjectures and promising research directions that could otherwise take significant time to uncover. We rediscover the virtual dimension formula and provide a full mathematical proof of a newly identified problem concerning a certain lower bound of dimension. Furthermore, we extend an open invitation to the readers by providing the source code for computing ADLV and the ML models, promoting further explorations. This paper concludes by sharing valuable experiences and highlighting lessons learned from this collaboration.

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