Beyond expectations: Residual Dynamic Mode Decomposition and Variance for Stochastic Dynamical Systems

要約

コープマン演算子は非線形力学システムを線形化し、そのスペクトル情報を非常に重要なものにします。
これらのスペクトル特性を近似するために多数のアルゴリズムが開発されており、動的モード分解 (DMD) は投影ベースの手法の代表的なものとして際立っています。
コープマン演算子自体は線形ですが、それが観測可能な無限次元空間で作用するという事実により、さまざまな課題が生じます。
これらには、スプリアス モード、本質的なスペクトル、およびクープマン モード分解の検証が含まれます。
最近の研究では、決定論的システムのこれらの課題に対処していますが、クープマン演算子が観測値の期待値を測定する、確率論的システムに合わせて調整された検証済みの DMD 手法には、依然として顕著なギャップが残っています。
これらの問題に対処するには、予想を超える必要があることを示しています。
Koopman フレームワークに分散を組み込むことで、これらの課題に対処します。
追加の DMD タイプの行列を通じて、二乗残差と分散項の合計を近似します。これらのそれぞれは、バッチ化されたスナップショット データを使用して個別に近似できます。
これにより、確率的クープマン演算子のスペクトル特性の検証された計算が可能になり、投影誤差が制御されます。
また、統計的一貫性を評価するために分散擬似スペクトルの概念も導入します。
最後に、確率的コープマン演算子のスペクトル量に対する一連の収束結果を示します。
私たちの研究は、シミュレーションデータと実験データの両方を使用した実用的なアプリケーションで終わります。
覚醒したマウスからの神経記録では、分散擬似スペクトルが標準的な期待ベースの力学モデルでは入手できない生理学的に重要な情報をどのように明らかにできるかを実証します。

要約(オリジナル)

Koopman operators linearize nonlinear dynamical systems, making their spectral information of crucial interest. Numerous algorithms have been developed to approximate these spectral properties, and Dynamic Mode Decomposition (DMD) stands out as the poster child of projection-based methods. Although the Koopman operator itself is linear, the fact that it acts in an infinite-dimensional space of observables poses various challenges. These include spurious modes, essential spectra, and the verification of Koopman mode decompositions. While recent work has addressed these challenges for deterministic systems, there remains a notable gap in verified DMD methods tailored for stochastic systems, where the Koopman operator measures the expectation of observables. We show that it is necessary to go beyond expectations to address these issues. By incorporating variance into the Koopman framework, we address these challenges. Through an additional DMD-type matrix, we approximate the sum of a squared residual and a variance term, each of which can be approximated individually using batched snapshot data. This allows verified computation of the spectral properties of stochastic Koopman operators, controlling the projection error. We also introduce the concept of variance-pseudospectra to gauge statistical coherency. Finally, we present a suite of convergence results for the spectral quantities of stochastic Koopman operators. Our study concludes with practical applications using both simulated and experimental data. In neural recordings from awake mice, we demonstrate how variance-pseudospectra can reveal physiologically significant information unavailable to standard expectation-based dynamical models.

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