A deep complementary energy method for solid mechanics using minimum complementary energy principle

要約

近年、ディープラーニングの急速な進歩はさまざまな分野に大きな影響を与えており、特に固体力学の分野における偏微分方程式 (PDE) を解く際に、ニューラル ネットワークの優れた近似機能の恩恵を大きく受けています。
PDE を解く際には、物理​​情報に基づいたニューラル ネットワーク (PINN) とディープ エネルギー法 (DEM) が大きな注目を集めています。
最小位置エネルギーの原理と補足エネルギーの原理は、固体力学における 2 つの重要な変分原理です。
しかし、よく知られているディープ エネルギー法 (DEM) は、最小位置エネルギーの原理に基づいていますが、最小補完エネルギーという重要な形式が欠けています。
このギャップを埋めるために、最小補完エネルギーの原理に基づいたディープ補完エネルギー法 (DCEM) を提案します。
DCEM の出力関数は応力関数であり、本質的に平衡方程式を満たします。
プラントルおよびエアリー応力関数を使用した数値結果を示し、代表的な機械的問題をモデル化する際に DCEM を既存の PINN および DEM アルゴリズムと比較します。
結果は、DCEM が応力精度と効率の点で DEM より優れており、複雑な変位境界条件の処理に利点があることを示しており、これは理論解析と数値シミュレーションによって裏付けられています。
DCEM を DCEM-Plus (DCEM-P) に拡張し、偏微分方程式を満たす項を追加します。
さらに、演算子学習と物理方程式を組み合わせたディープ相補エネルギー演算子法 (DCEM-O) を提案します。
最初に、高忠実度の数値結果を使用して DCEM-O をトレーニングし、その後、補完的なエネルギーを組み込みます。
DCEM-P および DCEM-O は、DCEM の精度と効率をさらに強化します。

要約(オリジナル)

In recent years, the rapid advancement of deep learning has significantly impacted various fields, particularly in solving partial differential equations (PDEs) in the realm of solid mechanics, benefiting greatly from the remarkable approximation capabilities of neural networks. In solving PDEs, Physics-Informed Neural Networks (PINNs) and the Deep Energy Method (DEM) have garnered substantial attention. The principle of minimum potential energy and complementary energy are two important variational principles in solid mechanics. However, the well-known Deep Energy Method (DEM) is based on the principle of minimum potential energy, but there lacks the important form of minimum complementary energy. To bridge this gap, we propose the deep complementary energy method (DCEM) based on the principle of minimum complementary energy. The output function of DCEM is the stress function, which inherently satisfies the equilibrium equation. We present numerical results using the Prandtl and Airy stress functions, and compare DCEM with existing PINNs and DEM algorithms when modeling representative mechanical problems. The results demonstrate that DCEM outperforms DEM in terms of stress accuracy and efficiency and has an advantage in dealing with complex displacement boundary conditions, which is supported by theoretical analyses and numerical simulations. We extend DCEM to DCEM-Plus (DCEM-P), adding terms that satisfy partial differential equations. Furthermore, we propose a deep complementary energy operator method (DCEM-O) by combining operator learning with physical equations. Initially, we train DCEM-O using high-fidelity numerical results and then incorporate complementary energy. DCEM-P and DCEM-O further enhance the accuracy and efficiency of DCEM.

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