Physics-Informed Boundary Integral Networks (PIBI-Nets): A Data-Driven Approach for Solving Partial Differential Equations

要約

偏微分方程式 (PDE) は、力学システムにおける多くの関連現象を記述することができます。
実際のアプリケーションでは、通常、形式的な偏微分方程式モデルと (ノイズが含まれる可能性がある) 観測値を組み合わせる必要があります。
これは、境界条件や初期条件に関する情報が不足している設定、または未知のモデル パラメーターを特定する必要がある設定に特に関係します。
近年、Physics-informed Neural Network (PINN) がこの種の問題に対する一般的なツールとなっています。
ただし、高次元の設定では、PINN は通常、計算領域全体にわたって高密度のコロケーション ポイントを必要とするため、計算上の問題に悩まされることがよくあります。
この問題に対処するために、元の問題空間よりも 1 次元小さい次元で偏微分方程式を解くためのデータ駆動型アプローチとして、物理情報に基づいた境界積分ネットワーク (PIBI-Nets) を提案します。
PIBI-Net は、計算領域の境界にあるコロケーション ポイントのみを必要としながらも、高精度の結果を達成し、いくつかの実際の設定では明らかに PINN よりも優れたパフォーマンスを発揮します。
線形微分演算子の基本的な解の初等特性を利用して、逆問題で点源を処理する原理的かつ簡単な方法を提示します。
我々は、人工データセットと地下水流の再構築に関する現実世界のアプリケーションの両方で、ラプラス方程式とポアソン方程式に対する PIBI-Net の優れたパフォーマンスを実証します。

要約(オリジナル)

Partial differential equations (PDEs) can describe many relevant phenomena in dynamical systems. In real-world applications, we commonly need to combine formal PDE models with (potentially noisy) observations. This is especially relevant in settings where we lack information about boundary or initial conditions, or where we need to identify unknown model parameters. In recent years, Physics-informed neural networks (PINNs) have become a popular tool for problems of this kind. In high-dimensional settings, however, PINNs often suffer from computational problems because they usually require dense collocation points over the entire computational domain. To address this problem, we present Physics-Informed Boundary Integral Networks (PIBI-Nets) as a data-driven approach for solving PDEs in one dimension less than the original problem space. PIBI-Nets only need collocation points at the computational domain boundary, while still achieving highly accurate results, and in several practical settings, they clearly outperform PINNs. Exploiting elementary properties of fundamental solutions of linear differential operators, we present a principled and simple way to handle point sources in inverse problems. We demonstrate the excellent performance of PIBI-Nets for the Laplace and Poisson equations, both on artificial data sets and within a real-world application concerning the reconstruction of groundwater flows.

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