Learning Networks from Gaussian Graphical Models and Gaussian Free Fields

要約

我々は、ネットワーク上のガウス分布モデル（Gaussian Graphical Model: GGM）の繰り返し測定から、重み付きネットワークの構造を推定する問題を研究する。この流れの中で、共分散構造が重み付きネットワークの幾何学的形状と一致するGGMを考える。このようなGGMは、統計物理学において古くから注目されており、ガウス自由場（GFF）と呼ばれている。近年、機械学習や理論計算機科学の分野でも大きな関心を集めている。本研究では、ガウス分布のフーリエ解析的性質に基づき、ネットワーク上のGFFの繰り返し測定から、重み付きネットワーク（等価的にはそのラプラシアン）の新しい推定器を提案する。この追求において、我々のアプローチは、観測データから構築された複素値の統計量を利用する。我々は、具体的な回復保証と必要な標本複雑度の境界を用いて、我々の推定器の有効性を実証する。特に、提案する統計量が、固定ネットワークサイズにおいてパラメトリック推定率を達成することを示す。また、ネットワークが標本サイズとともに成長する設定において、接続性閾値以上のErdos-Renyiランダムグラフ$G(d,p)$に対して、標本サイズ$n$が$n \gg d^4 ★log d ★cdot p^{-2}$を満たすと高い確率でネットワークが回復することを示す。

要約(オリジナル)

We investigate the problem of estimating the structure of a weighted network from repeated measurements of a Gaussian Graphical Model (GGM) on the network. In this vein, we consider GGMs whose covariance structures align with the geometry of the weighted network on which they are based. Such GGMs have been of longstanding interest in statistical physics, and are referred to as the Gaussian Free Field (GFF). In recent years, they have attracted considerable interest in the machine learning and theoretical computer science. In this work, we propose a novel estimator for the weighted network (equivalently, its Laplacian) from repeated measurements of a GFF on the network, based on the Fourier analytic properties of the Gaussian distribution. In this pursuit, our approach exploits complex-valued statistics constructed from observed data, that are of interest on their own right. We demonstrate the effectiveness of our estimator with concrete recovery guarantees and bounds on the required sample complexity. In particular, we show that the proposed statistic achieves the parametric rate of estimation for fixed network size. In the setting of networks growing with sample size, our results show that for Erdos-Renyi random graphs $G(d,p)$ above the connectivity threshold, we demonstrate that network recovery takes place with high probability as soon as the sample size $n$ satisfies $n \gg d^4 \log d \cdot p^{-2}$.

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