A Neural Network Warm-Start Approach for the Inverse Acoustic Obstacle Scattering Problem

要約

ここでは、障害物の境界は、対象物の外側にある受信機の集合における散乱場の測定値から決定される。この問題を解くための標準的なアプローチの一つは、最適化問題として再定式化することである：散乱界の計算値と与えられた測定データの間の$L^2$距離を最小化する領域の境界を見つける。この最適化問題は、凸の局所集合が周波数の増加とともに縮小し、真の解の近傍で局所極小値の数が増加するため、計算上困難である。多くの実用的な実験環境では、実験セットアップや測定に使用するセンサーの制限により、低周波数の測定は利用できません。従って、このような環境では、最適化問題に対する良い初期推測を得ることが重要な役割を果たす。 本論文では、逆散乱問題を解くためのニューラルネットワークウォームスタートアプローチを紹介する。本手法の有効性をいくつかの数値例を用いて実証する。高周波数問題に対して、本アプローチは、事前準備なしで初期化された（すなわち、単位円を用いて初期化された）ガウス・ニュートンや、線形サンプリング法のような直接法の解を用いて初期化されたような従来の反復法を凌駕する。このアルゴリズムは散乱体測定値のノイズに対してロバストであり、限られた開口数のデータに対しても真の解に収束する。しかし、ニューラルネットワークを訓練するのに必要な訓練サンプル数は、周波数と考慮される障害物の複雑さに対して指数関数的に増加する。最後に、この現象についての考察と、今後の研究の方向性について述べる。

要約(オリジナル)

We consider the inverse acoustic obstacle problem for sound-soft star-shaped obstacles in two dimensions wherein the boundary of the obstacle is determined from measurements of the scattered field at a collection of receivers outside the object. One of the standard approaches for solving this problem is to reformulate it as an optimization problem: finding the boundary of the domain that minimizes the $L^2$ distance between computed values of the scattered field and the given measurement data. The optimization problem is computationally challenging since the local set of convexity shrinks with increasing frequency and results in an increasing number of local minima in the vicinity of the true solution. In many practical experimental settings, low frequency measurements are unavailable due to limitations of the experimental setup or the sensors used for measurement. Thus, obtaining a good initial guess for the optimization problem plays a vital role in this environment. We present a neural network warm-start approach for solving the inverse scattering problem, where an initial guess for the optimization problem is obtained using a trained neural network. We demonstrate the effectiveness of our method with several numerical examples. For high frequency problems, this approach outperforms traditional iterative methods such as Gauss-Newton initialized without any prior (i.e., initialized using a unit circle), or initialized using the solution of a direct method such as the linear sampling method. The algorithm remains robust to noise in the scattered field measurements and also converges to the true solution for limited aperture data. However, the number of training samples required to train the neural network scales exponentially in frequency and the complexity of the obstacles considered. We conclude with a discussion of this phenomenon and potential directions for future research.

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