Data-driven low-dimensional dynamic model of Kolmogorov flow

要約

流れのダイナミクスを捉える次数低減モデル (ROM) は、シミュレーションおよびモデルベースの制御アプローチの計算コストを削減するために興味深いものです。
この研究は、流れのダイナミクスと特性を効果的に捕捉する最小次元モデルのためのデータ駆動型フレームワークを提示します。
これを、多くの流れプロセスで一般的であり、モデル化が困難な、混沌とした断続的な動作からなる体制におけるコルモゴロフ流に適用します。
流れの軌道は相対周期軌道 (RPO) の近くを進み、RPO を含む領域間の逸脱に対応する散発的なバースト イベントが散在します。
モデル開発の最初のステップは、不完全なオートエンコーダーを使用して、完全な状態データから劇的に低次元の潜在空間にマッピングすることです。
次に、潜在空間におけるダイナミクスの離散時間進化のモデルが開発されます。
モデルのパフォーマンスを潜在空間次元の関数として分析することで、システムのダイナミクスを捉えるために必要な最小次元数を推定できます。
動的モデルの次元をさらに削減するために、流れの並進不変性の方向で位相変数を因数分解し、パターンと位相の個別の発展方程式を導きます。
1024 の完全な状態次元 (つまり、32×32 グリッド) とは対照的に、パターン ダイナミクスのモデル次元 5 では、約 2 リアプノフ時間までの個々の軌跡と長時間の統計について正確な予測が見つかります。
次元 9 では、結果にさらに小さな改善が見られます。
静止時間スケールとバースト時間スケールを含む、異なる RPO 間のほぼヘテロクリニック的な関係がよく捉えられています。
また、位相ダイナミクスの重要な特徴も捉えます。
最後に、低次元表現を使用して将来のバースト イベントを予測し、良好な成功を収めます。

要約(オリジナル)

Reduced order models (ROMs) that capture flow dynamics are of interest for decreasing computational costs for simulation as well as for model-based control approaches. This work presents a data-driven framework for minimal-dimensional models that effectively capture the dynamics and properties of the flow. We apply this to Kolmogorov flow in a regime consisting of chaotic and intermittent behavior, which is common in many flows processes and is challenging to model. The trajectory of the flow travels near relative periodic orbits (RPOs), interspersed with sporadic bursting events corresponding to excursions between the regions containing the RPOs. The first step in development of the models is use of an undercomplete autoencoder to map from the full state data down to a latent space of dramatically lower dimension. Then models of the discrete-time evolution of the dynamics in the latent space are developed. By analyzing the model performance as a function of latent space dimension we can estimate the minimum number of dimensions required to capture the system dynamics. To further reduce the dimension of the dynamical model, we factor out a phase variable in the direction of translational invariance for the flow, leading to separate evolution equations for the pattern and phase. At a model dimension of five for the pattern dynamics, as opposed to the full state dimension of 1024 (i.e. a 32×32 grid), accurate predictions are found for individual trajectories out to about two Lyapunov times, as well as for long-time statistics. Further small improvements in the results occur at a dimension of nine. The nearly heteroclinic connections between the different RPOs, including the quiescent and bursting time scales, are well captured. We also capture key features of the phase dynamics. Finally, we use the low-dimensional representation to predict future bursting events, finding good success.

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