Dynamic algorithms for k-center on graphs

要約

この論文では、エッジ更新が行われる動的グラフ上の $k$-center 問題に対する最初の効率的なアルゴリズムを提供します。
この問題の目標は、任意のデータ点から最も近い中心までの最大距離が最小になるように $k$ 中心を選択することにより、入力を $k$ セットに分割することです。
この問題について、$2$ よりも優れた近似値を得るのは NP では難しいことが知られています。
多くのアプリケーションでは入力は当然グラフとしてモデル化されますが、動的設定における $k$-center 問題に関するこれまでの研究はすべてメトリックに基づいています。
この論文では、決定論的減分 $(2+\epsilon)$ 近似アルゴリズムとランダム化増分 $(4+\epsilon)$ 近似アルゴリズムを提供します。どちらも償却更新時間 $kn^{o(1)} です。
$ 加重グラフの場合。
さらに、$k$-center問題に対する完全に動的な$(2+\epsilon)$-近似アルゴリズムにつながる削減を示します。最悪の場合の更新時間は状態の係数$k$以内です-
グラフ内で $(1+\epsilon)$ の近似単一音源距離を維持するための最先端の上限。
各頂点からその中心までのおおよその距離を使用してグラフ直径の $(2+\epsilon)$ 近似を維持でき、そのような直径近似の既知の最速アルゴリズムも
単一音源のおおよその距離を維持します。

要約(オリジナル)

In this paper we give the first efficient algorithms for the $k$-center problem on dynamic graphs undergoing edge updates. In this problem, the goal is to partition the input into $k$ sets by choosing $k$ centers such that the maximum distance from any data point to the closest center is minimized. It is known that it is NP-hard to get a better than $2$ approximation for this problem. While in many applications the input may naturally be modeled as a graph, all prior works on $k$-center problem in dynamic settings are on metrics. In this paper, we give a deterministic decremental $(2+\epsilon)$-approximation algorithm and a randomized incremental $(4+\epsilon)$-approximation algorithm, both with amortized update time $kn^{o(1)}$ for weighted graphs. Moreover, we show a reduction that leads to a fully dynamic $(2+\epsilon)$-approximation algorithm for the $k$-center problem, with worst-case update time that is within a factor $k$ of the state-of-the-art upper bound for maintaining $(1+\epsilon)$-approximate single-source distances in graphs. Matching this bound is a natural goalpost because the approximate distances of each vertex to its center can be used to maintain a $(2+\epsilon)$-approximation of the graph diameter and the fastest known algorithms for such a diameter approximation also rely on maintaining approximate single-source distances.

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