Learning Transfer Operators by Kernel Density Estimation

要約

データからの伝達演算子の推論は、Ulam 法に依存する古典的な問題として定式化されることがよくあります。
ウラム・ガラーキン法として知られる従来の記述には、長方形の細かいグリッド上でサポートされる特性関数として表される基底関数への投影が含まれます。
この観点から、Ulam-Galerkin アプローチはヒストグラム法を使用した密度推定として解釈できます。
この研究では、統計的密度推定の枠組み内で問題を再構築しました。
この別の視点により、バイアスと分散の明示的かつ厳密な分析が可能になり、それによって平均二乗誤差に関する議論が容易になります。
ロジスティック マップとマルコフ マップを利用した包括的な例を通じて、フロベニウス ペロン オペレーターの固有ベクトルを推定する際のこのアプローチの妥当性と有効性を実証します。
ヒストグラム密度推定 (HDE) メソッドとカーネル密度推定 (KDE) メソッドのパフォーマンスを比較したところ、精度の点で KDE が一般に HDE よりも優れていることがわかりました。
ただし、KDE ​​には境界点とジャンプに関する制限があることに注意することが重要です。
研究結果に基づいて、他の密度推定手法をこの分野に組み込む可能性を示唆し、KDE ​​ベースの推定を高次元地図に適用するための将来の研究を提案します。
これらの発見は、フロベニウス・ペロン演算子の推定に取り組む研究者や実践者に貴重な洞察を提供し、この研究分野における密度推定技術の可能性を強調します。
キーワード: 転送演算子。
フロベニウス・ペロン演算子。
確率密度推定。
ウラム・ガラーキン法。
カーネル密度の推定。
ヒストグラム密度の推定。

要約(オリジナル)

Inference of transfer operators from data is often formulated as a classical problem that hinges on the Ulam method. The conventional description, known as the Ulam-Galerkin method, involves projecting onto basis functions represented as characteristic functions supported over a fine grid of rectangles. From this perspective, the Ulam-Galerkin approach can be interpreted as density estimation using the histogram method. In this study, we recast the problem within the framework of statistical density estimation. This alternative perspective allows for an explicit and rigorous analysis of bias and variance, thereby facilitating a discussion on the mean square error. Through comprehensive examples utilizing the logistic map and a Markov map, we demonstrate the validity and effectiveness of this approach in estimating the eigenvectors of the Frobenius-Perron operator. We compare the performance of Histogram Density Estimation(HDE) and Kernel Density Estimation(KDE) methods and find that KDE generally outperforms HDE in terms of accuracy. However, it is important to note that KDE exhibits limitations around boundary points and jumps. Based on our research findings, we suggest the possibility of incorporating other density estimation methods into this field and propose future investigations into the application of KDE-based estimation for high-dimensional maps. These findings provide valuable insights for researchers and practitioners working on estimating the Frobenius-Perron operator and highlight the potential of density estimation techniques in this area of study. Keywords: Transfer Operators; Frobenius-Perron operator; probability density estimation; Ulam-Galerkin method; Kernel Density Estimation; Histogram Density Estimation.

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