G-invariant diffusion maps

要約

多様体上にあるデータを埋め込む拡散マップは、次元削減やクラスタリングからデータの視覚化に至るまでのタスクで成功を収めています。
この研究では、連続行列グループの作用下で閉じられた多様体からサンプリングされたデータセットの埋め込みを検討します。
このようなデータセットの例としては、平面回転が任意である画像が挙げられます。
著者らの以前の研究で導入された G 不変グラフ ラプラシアンは、群の既約ユニタリ表現の要素と特定の行列の固有ベクトルの間のテンソル積の形で固有関数を認めます。
これらの固有関数を使用して、データに対するグループ作用を本質的に説明する拡散マップを導き出します。
特に、データポイントをクラスタリングして位置合わせするために自然に使用できる等変埋め込みと不変埋め込みの両方を構築します。
シミュレーションデータを用いて施工の有効性を実証します。

要約(オリジナル)

The diffusion maps embedding of data lying on a manifold have shown success in tasks ranging from dimensionality reduction and clustering, to data visualization. In this work, we consider embedding data sets which were sampled from a manifold which is closed under the action of a continuous matrix group. An example of such a data set is images who’s planar rotations are arbitrary. The G-invariant graph Laplacian, introduced in a previous work of the authors, admits eigenfunctions in the form of tensor products between the elements of the irreducible unitary representations of the group and eigenvectors of certain matrices. We employ these eigenfunctions to derive diffusion maps that intrinsically account for the group action on the data. In particular, we construct both equivariant and invariant embeddings which can be used naturally to cluster and align the data points. We demonstrate the effectiveness of our construction with simulated data.

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