Efficiently Sampling the PSD Cone with the Metric Dikin Walk

要約

半正定プログラムは、効率的な計算の最前線を表します。
半定値の最適化に関しては多くの進歩があり、中程度のサイズのインスタンスは現在内点法で実際に解決可能ですが、半定値の解をサンプリングするという基本的な問題は依然として手強い課題です。
一般の凸体を半定値サンプリングにサンプリングするための既知の多項式時間アルゴリズムを直接適用すると、実行時間が法外に長くなります。
さらに、既知の一般的な方法は、前処理として高価な丸めフェーズを必要とします。
ここでは、まず一般的なメトリクスに適応させてから、アフィン制約を備えた PSD コーンに適したメトリクスを考案することで、ディキン ウォークを分析します。
結果として生じる混合時間とステップごとの複雑さはかなり小さくなり、メトリックを適切に選択することで、制約の数への依存性を多重対数にすることができます。
自己一致行列関数の洗練された概念を導入し、さまざまなメトリクスを組み合わせるためのルールを提供します。
その過程で、サンプリングのための内点法の理論をさらに発展させます。

要約(オリジナル)

Semi-definite programs represent a frontier of efficient computation. While there has been much progress on semi-definite optimization, with moderate-sized instances currently solvable in practice by the interior-point method, the basic problem of sampling semi-definite solutions remains a formidable challenge. The direct application of known polynomial-time algorithms for sampling general convex bodies to semi-definite sampling leads to a prohibitively high running time. In addition, known general methods require an expensive rounding phase as pre-processing. Here we analyze the Dikin walk, by first adapting it to general metrics, then devising suitable metrics for the PSD cone with affine constraints. The resulting mixing time and per-step complexity are considerably smaller, and by an appropriate choice of the metric, the dependence on the number of constraints can be made polylogarithmic. We introduce a refined notion of self-concordant matrix functions and give rules for combining different metrics. Along the way, we further develop the theory of interior-point methods for sampling.

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