Universal consistency of the $k$-NN rule in metric spaces and Nagata dimension. II

要約

分離可能な計量空間における $k$ 最近傍学習ルールの調査を続けます。
C\’erou と Guyader (2006) および Preiss (1983) の結果のおかげで、この規則は、Nagata の意味でシグマ有限次元であるすべての計量空間 $X$ において普遍的に一貫していることが知られています。
ここで、関係が存在しない場合、そのような空間ではルールが強く普遍的に一貫していることを示します。
Devroye、Gy\'{o}rfi、Krzy\.{z}ak、および Lugosi (1994) によってユークリッド設定で適用されたタイブレーク戦略の下で、非アルキメデス計量空間 (つまり、永田次元 0 の空間) で強い普遍的一貫性を示すことができました。
C\’erou と Guyader の定理を Assouad と Quentin de Gromard (2006) の結果と組み合わせると、$k$-NN 規則は de Groot の意味で有限次元を持つ計量空間において普遍的に矛盾しないと推測されます。
特に、$k$-NN 規則は、Kor\’anyi と Reimann (1995) および Sawyer と Wheeden (1992) によって独自に構築された例から次のように、永田の意味でのシグマ有限次元ではないハイゼンベルク群において普遍的に一貫しています。

要約(オリジナル)

We continue to investigate the $k$ nearest neighbour learning rule in separable metric spaces. Thanks to the results of C\’erou and Guyader (2006) and Preiss (1983), this rule is known to be universally consistent in every metric space $X$ that is sigma-finite dimensional in the sense of Nagata. Here we show that the rule is strongly universally consistent in such spaces in the absence of ties. Under the tie-breaking strategy applied by Devroye, Gy\'{o}rfi, Krzy\.{z}ak, and Lugosi (1994) in the Euclidean setting, we manage to show the strong universal consistency in non-Archimedian metric spaces (that is, those of Nagata dimension zero). Combining the theorem of C\’erou and Guyader with results of Assouad and Quentin de Gromard (2006), one deduces that the $k$-NN rule is universally consistent in metric spaces having finite dimension in the sense of de Groot. In particular, the $k$-NN rule is universally consistent in the Heisenberg group which is not sigma-finite dimensional in the sense of Nagata as follows from an example independently constructed by Kor\’anyi and Reimann (1995) and Sawyer and Wheeden (1992).

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