A Basic Geometric Framework for Quasi-Static Mechanical Manipulation

要約

この研究では、ロボットエージェントなどによる機械的操作を分析するための幾何学的フレームワークを提案します。
保存的な力と準静的操作の仮定の下で、エネルギー法を使用して計量値を導き出します。
まず、自然な幾何学的設定がコタンジェントバンドルとそのラグランジュ部分多様体によって表されることを確認して示します。
これらは幾何学力学の標準的な概念ですが、通常は力学の枠組みの中で表現されます。
静力学の観点から基本的な定義を確認し、ラグランジュ部分多様体が一次解析からどのように自然に導出されるかを示します。
次に、二次解析を通じて、総エネルギーのヘッセ行列を導き出します。
これは制御の観点からは必ずしも正定値ではないため、{力学 (ガウスの原理) と生物学 (分離原理) の両方に由来する}洞察を動機として、最適性の尺度として 2 乗ヘッセ行列を使用することを提案します。
最後に、このような方法を、たとえば弾性駆動される振り子の単純な場合にどのように適用できるかを示します。
この例は分析的な解決策を可能にするのに十分単純です。
ただし、拡張はさらに導出され、数値的に解決され、実際のロボット操作の問題とより現実的に関連付けられます。

要約(オリジナル)

In this work, we propose a geometric framework for analyzing mechanical manipulation, for example, by a robotic agent. Under the assumption of conservative forces and quasi-static manipulation, we use energy methods to derive a metric. We first review and show that the natural geometric setting is represented by the cotangent bundle and its Lagrangian submanifolds. These are standard concepts in geometric mechanics but usually presented within dynamical frameworks. We review the basic definitions from a static mechanics perspective and show how Lagrangian submanifolds are naturally derived from a first order analysis. Then, via a second order analysis, we derive the Hessian of total energy. As this is not necessarily positive-definite from a control perspective, we propose the use of the squared-Hessian for optimality measures, motivated by insights {derived from both mechanics (Gauss’s Principle) and biology (Separation Principle)}. We conclude by showing how such methods can be applied, for example, to the simple case of an elastically driven pendulum. The example is simple enough to allow for analytical solution. However, an extension is further derived and numerically solved, which is more realistically connected with actual robotic manipulation problems.

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