On sampling determinantal and Pfaffian point processes on a quantum computer

要約

DPP は、1970 年代に量子光学のモデルとして Macchi によって導入されました。
それ以来、これらは統計やコンピューター サイエンスのモデルやサブサンプリング ツールとして広く使用されてきました。
ほとんどのアプリケーションは DPP からのサンプリングを必要とし、その量子起源を考えると、量子コンピューターでの DPP のサンプリングが従来のコンピューターよりも簡単であるかどうか疑問に思うのは自然なことです。
ここでは、有限状態空間上の DPP に焦点を当てます。これは、$N\times N$ エルミート カーネル行列によってパラメータ化された $\{1,\dots,N\}$ のサブセットにわたる分布です。
バニラ サンプリングは、古典的なコンピュータでの $\mathcal{O}(N^3)$ 演算と $\mathcal{O}(Nr^2)$ 演算のそれぞれのコストの 2 つのステップで構成されます。ここで、$r$ は、
カーネルマトリックス。
この論文の最初の部分の大部分は、フェルミオン系の最先端の量子シミュレーションがすでに量子 DPP サンプリング アルゴリズムを生み出している理由を説明することで構成されています。
次に、既存の量子回路を変更し、実際のカーネル仕様から始まる完全な DPP サンプリング パイプラインへのそれらの挿入について説明します。
肝心なのは、$P$ (古典的) 並列プロセッサを使用すると、前処理コストを $P$ で割って、特定の DPP をサンプリングする $\mathcal{O}(Nr)$ ゲートを備えた量子回路を構築できるということです。
深さはターゲットマシンの量子ビット通信制約に応じて $\mathcal{O}(N)$ から $\mathcal{O}(r\log N)$ まで変化します。
また、超伝導体のシミュレーションに関する既存の研究をパフィアン点プロセスに接続します。これは DPP を一般化し、機械学習者のツールボックスに自然に追加されるものです。
最後に、回路は古典的なシミュレーターと 5 量子ビット マシンで経験的に検証されます。

要約(オリジナル)

DPPs were introduced by Macchi as a model in quantum optics the 1970s. Since then, they have been widely used as models and subsampling tools in statistics and computer science. Most applications require sampling from a DPP, and given their quantum origin, it is natural to wonder whether sampling a DPP on a quantum computer is easier than on a classical one. We focus here on DPPs over a finite state space, which are distributions over the subsets of $\{1,\dots,N\}$ parametrized by an $N\times N$ Hermitian kernel matrix. Vanilla sampling consists in two steps, of respective costs $\mathcal{O}(N^3)$ and $\mathcal{O}(Nr^2)$ operations on a classical computer, where $r$ is the rank of the kernel matrix. A large first part of the current paper consists in explaining why the state-of-the-art in quantum simulation of fermionic systems already yields quantum DPP sampling algorithms. We then modify existing quantum circuits, and discuss their insertion in a full DPP sampling pipeline that starts from practical kernel specifications. The bottom line is that, with $P$ (classical) parallel processors, we can divide the preprocessing cost by $P$ and build a quantum circuit with $\mathcal{O}(Nr)$ gates that sample a given DPP, with depth varying from $\mathcal{O}(N)$ to $\mathcal{O}(r\log N)$ depending on qubit-communication constraints on the target machine. We also connect existing work on the simulation of superconductors to Pfaffian point processes, which generalize DPPs and would be a natural addition to the machine learner’s toolbox. Finally, the circuits are empirically validated on a classical simulator and on 5-qubit machines.

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