Geometry in global coordinates in mechanics and optimal transport

要約

内積空間に埋め込まれた多様体の場合、{\it ハミルトン ベクトル場、アフィン結合とレヴィ-チビタ結合、曲率} などの幾何学量をグローバル座標で表現します。
座標インデックスの代わりに、ほとんどの量のグローバル公式は、接線バンドルへの {\it アフィン投影} を使用して、{\it 演算子値} 式として表現されます。
埋め込まれた多様体の水没画像の場合、ハミルトン ベクトル場の {\itlifts} を導入し、水平バンドル上で埋め込み座標を使用できるようにします。
ベクトル バンドル上のアフィン接続のための {\it Gauss-Codazzi 方程式} を導出します。
このアプローチにより、幾何学的表現をグローバルに評価できるようになり、アプリケーションで最新の数値フレームワークとともに効果的に使用できる可能性があります。
考慮される例には、剛体力学とグラスマン多様体上のハミルトン力学が含まれます。
固定階数の正半定行列の空間上の反射体アンテナ型のコスト関数を使用した {\it Kim-McCann} 計量の交差曲率 (MTW テンソル) が非負の交差曲率を持っていることを明示的に示します。
コストは、射影空間を除いて、グラスマン多様体上で負の交差曲率を持つ可能性があります。

要約(オリジナル)

For a manifold embedded in an inner product space, we express geometric quantities such as {\it Hamilton vector fields, affine and Levi-Civita connections, curvature} in global coordinates. Instead of coordinate indices, the global formulas for most quantities are expressed as {\it operator-valued} expressions, using an {\it affine projection} to the tangent bundle. For a submersion image of an embedded manifold, we introduce {\it liftings} of Hamilton vector fields, allowing us to use embedded coordinates on horizontal bundles. We derive a {\it Gauss-Codazzi equation} for affine connections on vector bundles. This approach allows us to evaluate geometric expressions globally, and could be used effectively with modern numerical frameworks in applications. Examples considered include rigid body mechanics and Hamilton mechanics on Grassmann manifolds. We show explicitly the cross-curvature (MTW-tensor) for the {\it Kim-McCann} metric with a reflector antenna-type cost function on the space of positive-semidefinite matrices of fixed rank has nonnegative cross-curvature, while the corresponding cost could have negative cross-curvature on Grassmann manifolds, except for projective spaces.

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