Convergent regularization in inverse problems and linear plug-and-play denoisers

要約

プラグ アンド プレイ (PnP) ノイズ除去は、既製の画像デノイザーを使用して画像逆問題を解決するための一般的な反復フレームワークです。
彼らの経験的な成功は、デノイザーに関するさまざまな仮定の下での PnP 反復の収束を理解しようとする一連の研究の動機となりました。
デノイザーのさまざまな規則性条件に対する PnP 反復の収束を確立するためにかなりの量の研究が行われていますが、測定のノイズ レベルがゼロになる傾向があるため、収束した解の漸近特性についてはあまり知られていません。
PnP メソッドは、デノイザーに関する合理的な仮定の下では、収束する正則化スキームであることが証明されています。
この論文は 2 つの目的を果たします。1 つは、逆問題における古典的な正則化理論の概要を示し、収束正則化スキームであることが証明されているいくつかの注目すべき最近のデータ駆動型手法を調査することです。
次に、PnP アルゴリズムとその確立された収束保証について引き続き説明します。
続いて、線形デノイザーを備えた PnP アルゴリズムを検討し、デノイザーから生じる正則化の強度を制御するための新しいスペクトル フィルター技術を提案します。
さらに、デノイザーの暗黙的な正則化を明示的な正則化関数に関連付けることにより、線形デノイザーを使用した PnP が収束正則化スキームにつながることを厳密に示します。
より具体的には、ノイズが消える極限において、ノイズのない演算子方程式を満たす解を条件として、PnP 再構成が正則化ポテンシャルの最小化に収束することを証明します。
理論的解析は、断層撮影画像再構成の古典逆問題の数値実験によって裏付けられます。

要約(オリジナル)

Plug-and-play (PnP) denoising is a popular iterative framework for solving imaging inverse problems using off-the-shelf image denoisers. Their empirical success has motivated a line of research that seeks to understand the convergence of PnP iterates under various assumptions on the denoiser. While a significant amount of research has gone into establishing the convergence of the PnP iteration for different regularity conditions on the denoisers, not much is known about the asymptotic properties of the converged solution as the noise level in the measurement tends to zero, i.e., whether PnP methods are provably convergent regularization schemes under reasonable assumptions on the denoiser. This paper serves two purposes: first, we provide an overview of the classical regularization theory in inverse problems and survey a few notable recent data-driven methods that are provably convergent regularization schemes. We then continue to discuss PnP algorithms and their established convergence guarantees. Subsequently, we consider PnP algorithms with linear denoisers and propose a novel spectral filtering technique to control the strength of regularization arising from the denoiser. Further, by relating the implicit regularization of the denoiser to an explicit regularization functional, we rigorously show that PnP with linear denoisers leads to a convergent regularization scheme. More specifically, we prove that in the limit as the noise vanishes, the PnP reconstruction converges to the minimizer of a regularization potential subject to the solution satisfying the noiseless operator equation. The theoretical analysis is corroborated by numerical experiments for the classical inverse problem of tomographic image reconstruction.

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