Higher-order topological kernels via quantum computation

要約

トポロジカル データ分析 (TDA) は、複雑なデータから有意義な洞察を抽出するための強力なツールとして登場しました。
TDA は、オブジェクトを単純な複合体に埋め込み、Betti 数、つまり多次元の穴の数などの有用なグローバル プロパティを抽出することによって、オブジェクトの分析を強化します。このプロパティは、既存の機械学習アルゴリズムと簡単に統合できるカーネル メソッドの定義に使用できます。
これらのカーネル メソッドは、パフォーマンスを理論的に保証する強力な数学的フレームワークに依存しているため、幅広い用途に使用されています。
ただし、高次元の Betti 数の計算は、古典的なハードウェアでは法外に高価になる可能性がありますが、量子アルゴリズムはインスタンス サイズの多項式時間で近似できます。
この研究では、Betti 曲線、つまり、次数が増加するフィルタリングのトポロジカル フィンガープリントの構築に基づく、トポロジカル カーネルを定義するための量子アプローチを提案します。
私たちは、ノイズのないシミュレーターに実装されたアプローチの実用的なプロトタイプを展示し、トポロジカルなアプローチが量子機械学習に利点をもたらす可能性があることを示唆するいくつかの経験的結果によってその堅牢性を示します。

要約(オリジナル)

Topological data analysis (TDA) has emerged as a powerful tool for extracting meaningful insights from complex data. TDA enhances the analysis of objects by embedding them into a simplicial complex and extracting useful global properties such as the Betti numbers, i.e. the number of multidimensional holes, which can be used to define kernel methods that are easily integrated with existing machine-learning algorithms. These kernel methods have found broad applications, as they rely on powerful mathematical frameworks which provide theoretical guarantees on their performance. However, the computation of higher-dimensional Betti numbers can be prohibitively expensive on classical hardware, while quantum algorithms can approximate them in polynomial time in the instance size. In this work, we propose a quantum approach to defining topological kernels, which is based on constructing Betti curves, i.e. topological fingerprint of filtrations with increasing order. We exhibit a working prototype of our approach implemented on a noiseless simulator and show its robustness by means of some empirical results suggesting that topological approaches may offer an advantage in quantum machine learning.

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