Learning Homogenization for Elliptic Operators

要約

マルチスケール偏微分方程式 (PDE) はさまざまなアプリケーションで発生し、それらを効率的に解くためにいくつかのスキームが開発されています。
均質化理論は、小規模な依存性を排除し、計算上扱いやすい単純化された方程式をもたらす強力な方法論です。
連続力学の分野では、均質化は、対象となる巨視的な量のバランス法則を定式化するために、ミクロスケールの物理学を組み込んだ構成法則を導き出すために重要です。
ただし、均質化された構成法則を取得することは、一般に分析形式を持たず、ミクロスケールでは存在しない現象を示す可能性があるため、多くの場合困難です。
これに応じて、構成法則のデータ駆動型学習がこのタスクに適切であると提案されています。
しかし、この問題に対するデータ駆動型学習アプローチにおける主要な課題は未解明のままです。それは、基礎となる材料の不連続性とコーナー界面の影響です。
係数の不連続性は、基礎となる方程式の解の滑らかさに影響します。
連続力学の応用において不連続材料が普及していることを考えると、この文脈での学習の課題に取り組むことが重要です。
特に、この科学領域におけるデータ駆動型の手法の信頼性を確立するための基礎となる理論を開発します。
この論文は、このような複雑さの存在下での楕円演算子の均質化された構成法則の学習可能性を調査することにより、この未踏の課題に取り組んでいます。
近似理論が提示され、楕円偏微分方程式の均質化で生じるセル問題によって定義される解演算子の理論を検証する数値実験が実行されます。

要約(オリジナル)

Multiscale partial differential equations (PDEs) arise in various applications, and several schemes have been developed to solve them efficiently. Homogenization theory is a powerful methodology that eliminates the small-scale dependence, resulting in simplified equations that are computationally tractable. In the field of continuum mechanics, homogenization is crucial for deriving constitutive laws that incorporate microscale physics in order to formulate balance laws for the macroscopic quantities of interest. However, obtaining homogenized constitutive laws is often challenging as they do not in general have an analytic form and can exhibit phenomena not present on the microscale. In response, data-driven learning of the constitutive law has been proposed as appropriate for this task. However, a major challenge in data-driven learning approaches for this problem has remained unexplored: the impact of discontinuities and corner interfaces in the underlying material. These discontinuities in the coefficients affect the smoothness of the solutions of the underlying equations. Given the prevalence of discontinuous materials in continuum mechanics applications, it is important to address the challenge of learning in this context; in particular to develop underpinning theory to establish the reliability of data-driven methods in this scientific domain. The paper addresses this unexplored challenge by investigating the learnability of homogenized constitutive laws for elliptic operators in the presence of such complexities. Approximation theory is presented, and numerical experiments are performed which validate the theory for the solution operator defined by the cell-problem arising in homogenization for elliptic PDEs.

arxiv情報

提供元, 利用サービス

arxiv.jp, Google