Linear Regression on Manifold Structured Data: the Impact of Extrinsic Geometry on Solutions

要約

この論文では、多様体上に構造化されたデータに適用される線形回帰を研究します。
データ多様体は滑らかでユークリッド空間に埋め込まれていると仮定し、目的はデータ多様体の外部幾何学が回帰に及ぼす影響を明らかにすることです。
具体的には、回帰解の一意性に対する多様体の曲率 (または曲率が局所的にゼロである場合のパラメーター化における高次の非線形性) の影響を分析します。
私たちの発見は、埋め込まれた部分多様体がいくつかの次元で平坦である場合、対応する線形回帰が一意の解を持たないことを示唆しています。
それ以外の場合、多様体の曲率 (または埋め込みにおける高次の非線形性) が、特に多様体の法線方向に関連する解法において大きく寄与する可能性があります。
したがって、私たちの発見は、分布外推論の回帰モデルの安定性を確保する上でのデータ多様体幾何学の役割を明らかにしました。

要約(オリジナル)

In this paper, we study linear regression applied to data structured on a manifold. We assume that the data manifold is smooth and is embedded in a Euclidean space, and our objective is to reveal the impact of the data manifold’s extrinsic geometry on the regression. Specifically, we analyze the impact of the manifold’s curvatures (or higher order nonlinearity in the parameterization when the curvatures are locally zero) on the uniqueness of the regression solution. Our findings suggest that the corresponding linear regression does not have a unique solution when the embedded submanifold is flat in some dimensions. Otherwise, the manifold’s curvature (or higher order nonlinearity in the embedding) may contribute significantly, particularly in the solution associated with the normal directions of the manifold. Our findings thus reveal the role of data manifold geometry in ensuring the stability of regression models for out-of-distribution inferences.

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