Continuum Limits of Ollivier’s Ricci Curvature on data clouds: pointwise consistency and global lower bounds

要約

$\mathcal{M} \subseteq \mathbb{R}^d$ を低次元多様体とし、$\mathcal{X}= \{ x_1, \dots, x_n \}$ を均一にサンプリングされた点の集合とします。
$\mathcal{M}$ から。
$\mathcal{X}$ から構築されたランダム幾何グラフの曲率と多様体 $\mathcal{M}$ の曲率の間の関係を、オリビエの離散リッチ曲率の連続体極限を介して研究します。
我々は、点ごとに、非漸近的な一貫性の結果を証明し、また、$\mathcal{M}$ が正の定数によって下から境界付けられたリッチ曲率を持っている場合、ランダムな幾何学グラフはこの全体的な構造特性を高い確率で継承することを示します。
グラフ上の熱カーネルの収縮特性に対する大域的な離散曲率限界の適用と、データ クラウドからの多様体学習への影響について説明します。
特に、一貫性の結果により、多様体の固有曲率を外部曲率から特徴付けることができることを示します。

要約(オリジナル)

Let $\mathcal{M} \subseteq \mathbb{R}^d$ denote a low-dimensional manifold and let $\mathcal{X}= \{ x_1, \dots, x_n \}$ be a collection of points uniformly sampled from $\mathcal{M}$. We study the relationship between the curvature of a random geometric graph built from $\mathcal{X}$ and the curvature of the manifold $\mathcal{M}$ via continuum limits of Ollivier’s discrete Ricci curvature. We prove pointwise, non-asymptotic consistency results and also show that if $\mathcal{M}$ has Ricci curvature bounded from below by a positive constant, then the random geometric graph will inherit this global structural property with high probability. We discuss applications of the global discrete curvature bounds to contraction properties of heat kernels on graphs, as well as implications for manifold learning from data clouds. In particular, we show that the consistency results allow for characterizing the intrinsic curvature of a manifold from extrinsic curvature.

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