Vector Quantile Regression on Manifolds

要約

分位点回帰 (QR) は、説明的特徴が与えられたターゲット変数の条件付き分位点を分布に依存せずに推定するための統計ツールです。
QR は、ターゲット分布が一変量であり、ユークリッド領域で定義されているという仮定によって制限されます。
分位数の概念は最近多変量分布に拡張されましたが、多くの重要なアプリケーションには球面 (気候測定)、トーラス (タンパク質の二面角など) 上に分布するデータが本質的に含まれているにもかかわらず、多様体上の多変量分布の QR はまだ研究されていません。
）、またはリーグループ（ナビゲーションにおける態度）。
最適輸送理論と $c$-凹関数の概念を活用することで、多様体上の高次元変数の条件付きベクトル分位関数 (M-CVQF) を有意義に定義します。
私たちのアプローチでは、分位値の推定、回帰、および条件付き信頼セットの計算が可能です。
我々は、このアプローチの有効性を実証し、予備的な合成データ実験を通じて非ユークリッド分位数の意味に関する洞察を提供します。

要約(オリジナル)

Quantile regression (QR) is a statistical tool for distribution-free estimation of conditional quantiles of a target variable given explanatory features. QR is limited by the assumption that the target distribution is univariate and defined on an Euclidean domain. Although the notion of quantiles was recently extended to multi-variate distributions, QR for multi-variate distributions on manifolds remains underexplored, even though many important applications inherently involve data distributed on, e.g., spheres (climate measurements), tori (dihedral angles in proteins), or Lie groups (attitude in navigation). By leveraging optimal transport theory and the notion of $c$-concave functions, we meaningfully define conditional vector quantile functions of high-dimensional variables on manifolds (M-CVQFs). Our approach allows for quantile estimation, regression, and computation of conditional confidence sets. We demonstrate the approach’s efficacy and provide insights regarding the meaning of non-Euclidean quantiles through preliminary synthetic data experiments.

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