Scalable tensor methods for nonuniform hypergraphs

要約

多線形代数は、ハイパーグラフによってモデル化された多元相互作用を研究するには自然に見えますが、一般的なハイパーグラフのテンソル法は理論的および実践的な障壁によって妨げられてきました。
最近提案された隣接テンソルは不均一なハイパーグラフに適用できますが、実際に作成して分析するには法外にコストがかかります。
このテンソルに対して、複雑さを $O(n^r)$ から $r$ の低次多項式に改善するテンソル倍数同一ベクトル (TTSV) アルゴリズムを開発します。ここで、$n$ は頂点の数、$r$ は
ハイパーエッジの最大サイズ。
私たちのアルゴリズムは陰的であり、次数 $r$ 隣接テンソルの形成を回避します。
テンソルベースのハイパーグラフ中心性とクラスタリングアルゴリズムを開発することにより、実際のアプローチの柔軟性と有用性を実証します。
また、これらのテンソル測定は、データに対する類似のグラフ削減アプローチに補完的な情報を提供し、多くの既存の行列ベースのアプローチでは証明できない高次構造も検出できることも示します。

要約(オリジナル)

While multilinear algebra appears natural for studying the multiway interactions modeled by hypergraphs, tensor methods for general hypergraphs have been stymied by theoretical and practical barriers. A recently proposed adjacency tensor is applicable to nonuniform hypergraphs, but is prohibitively costly to form and analyze in practice. We develop tensor times same vector (TTSV) algorithms for this tensor which improve complexity from $O(n^r)$ to a low-degree polynomial in $r$, where $n$ is the number of vertices and $r$ is the maximum hyperedge size. Our algorithms are implicit, avoiding formation of the order $r$ adjacency tensor. We demonstrate the flexibility and utility of our approach in practice by developing tensor-based hypergraph centrality and clustering algorithms. We also show these tensor measures offer complementary information to analogous graph-reduction approaches on data, and are also able to detect higher-order structure that many existing matrix-based approaches provably cannot.

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