GRIL: A $2$-parameter Persistence Based Vectorization for Machine Learning

要約

トポロジカル データ解析 (TDA) の基礎である $1$ パラメーター永続的ホモロジーは、データに隠された接続コンポーネントやサイクルなどのトポロジカルな特徴の進化を研究します。
これは、グラフ ニューラル ネットワーク (GNN) などの深層学習モデルの表現力を強化するために適用されています。
トポロジカルな特徴の表現を豊かにするために、ここでは二重フィルタリング関数によって誘発される $2$ パラメータ永続モジュールを研究することを提案します。
これらの表現を機械学習モデルに組み込むために、$2$ パラメーター永続性モジュールに一般化ランク不変ランドスケープ (GRIL) と呼ばれる新しいベクトル表現を導入します。
このベクトル表現は $1$-Lipschitz 安定であり、基礎となるフィルタ関数に関して微分可能であり、機械学習モデルに簡単に統合して符号化トポロジー特徴を強化できることを示します。
ベクトル表現を効率的に計算するアルゴリズムを紹介します。
また、合成グラフ データセットとベンチマーク グラフ データセットでメソッドをテストし、結果を $1$ パラメーターおよび $2$ パラメーター永続モジュールの以前のベクトル表現と比較します。
さらに、GNN を GRIL 機能で強化し、GRIL が GNN を強化する追加の機能をキャプチャできることを示すパフォーマンスの向上を観察しました。
提案されたメソッドの完全なコードは https://github.com/soham0209/mpml-graph で入手できます。

要約(オリジナル)

$1$-parameter persistent homology, a cornerstone in Topological Data Analysis (TDA), studies the evolution of topological features such as connected components and cycles hidden in data. It has been applied to enhance the representation power of deep learning models, such as Graph Neural Networks (GNNs). To enrich the representations of topological features, here we propose to study $2$-parameter persistence modules induced by bi-filtration functions. In order to incorporate these representations into machine learning models, we introduce a novel vector representation called Generalized Rank Invariant Landscape (GRIL) for $2$-parameter persistence modules. We show that this vector representation is $1$-Lipschitz stable and differentiable with respect to underlying filtration functions and can be easily integrated into machine learning models to augment encoding topological features. We present an algorithm to compute the vector representation efficiently. We also test our methods on synthetic and benchmark graph datasets, and compare the results with previous vector representations of $1$-parameter and $2$-parameter persistence modules. Further, we augment GNNs with GRIL features and observe an increase in performance indicating that GRIL can capture additional features enriching GNNs. We make the complete code for the proposed method available at https://github.com/soham0209/mpml-graph.

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