Effective resistance in metric spaces

要約

実効抵抗 (ER) は、グラフの構造を調べるための魅力的な方法です。
これは、グラフ ラプラシアンの固有ベクトルを計算する代替手段です。
ER の魅力的なアプリケーションの 1 つは、点群、つまり、頂点が計量空間上の分布からの IID サンプルに対応するグラフへの応用です。
残念ながら、サンプルのサイズが無限大に増加するにつれて、任意の 2 点間の ER はグラフの構造に関する情報を保持しない自明な量に収束することが示されました。
この研究では、点のペアではなく小さな領域のペア間の領域ベースの ER を考慮し、各領域の基礎となる密度に対してエッジの重みを適切にスケーリングすることによって、この自明な解決策を回避できることを示します。
領域を固定したままにすることで、点の数が無限に増加するにつれて、領域ベースの ER が自明ではない限界に収束することを解析的に示します。
つまり、計量空間上の ER です。
私たちは数値実験によって理論的発見を裏付けます。

要約(オリジナル)

Effective resistance (ER) is an attractive way to interrogate the structure of graphs. It is an alternative to computing the eigenvectors of the graph Laplacian. One attractive application of ER is to point clouds, i.e. graphs whose vertices correspond to IID samples from a distribution over a metric space. Unfortunately, it was shown that the ER between any two points converges to a trivial quantity that holds no information about the graph’s structure as the size of the sample increases to infinity. In this study, we show that this trivial solution can be circumvented by considering a region-based ER between pairs of small regions rather than pairs of points and by scaling the edge weights appropriately with respect to the underlying density in each region. By keeping the regions fixed, we show analytically that the region-based ER converges to a non-trivial limit as the number of points increases to infinity. Namely the ER on a metric space. We support our theoretical findings with numerical experiments.

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