A Fast Maximum $k$-Plex Algorithm Parameterized by the Degeneracy Gap

要約

グラフが与えられると、$k$-plex は、各頂点がセット内の最大 $k-1$ 個の他の頂点に隣接しない頂点セットです。
与えられたグラフから最大の $k$-plex を求める最大 $k$-plex 問題は、グラフ検索やコミュニティ検出などのアプリケーションにおいて重要ですが、計算上困難な問題です。
これまでのところ、効率に関する十分な理論的説明のない経験的なアルゴリズムが数多くあります。
入力インスタンスの新しいパラメータである $g_k(G)$ (縮退限界と与えられたグラフにおける最大 $k$-plex のサイズの間のギャップ) を定義し、パラメータ化された正確なアルゴリズムを提示することで、このギャップを埋めることを試みます。
$g_k(G)$ 作。
言い換えれば、入力グラフのサイズで実行時間多項式を使用し、$g_k(G)$ ($k$ は定数) で指数関数を使用するアルゴリズムを設計します。
通常、$g_k(G)$ は小さく、実際のグラフでは $O(\log{(|V|)})$ の範囲内にあり、アルゴリズムが多項式時間で実行されることを示しています。
また、大規模な実験を実施し、このアルゴリズムが最先端のソルバーと競合できることを示しています。
さらに、$15$ や $20$ などの大きな $k$ 値の場合、私たちのアルゴリズムは既存のアルゴリズムよりも優れたパフォーマンスを発揮します。

要約(オリジナル)

Given a graph, the $k$-plex is a vertex set in which each vertex is not adjacent to at most $k-1$ other vertices in the set. The maximum $k$-plex problem, which asks for the largest $k$-plex from a given graph, is an important but computationally challenging problem in applications like graph search and community detection. So far, there is a number of empirical algorithms without sufficient theoretical explanations on the efficiency. We try to bridge this gap by defining a novel parameter of the input instance, $g_k(G)$, the gap between the degeneracy bound and the size of maximum $k$-plex in the given graph, and presenting an exact algorithm parameterized by $g_k(G)$. In other words, we design an algorithm with running time polynomial in the size of input graph and exponential in $g_k(G)$ where $k$ is a constant. Usually, $g_k(G)$ is small and bounded by $O(\log{(|V|)})$ in real-world graphs, indicating that the algorithm runs in polynomial time. We also carry out massive experiments and show that the algorithm is competitive with the state-of-the-art solvers. Additionally, for large $k$ values such as $15$ and $20$, our algorithm has superior performance over existing algorithms.

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