A Finite Expression Method for Solving High-Dimensional Committor Problems

要約

遷移経路理論 (TPT) は、選択された準安定状態のペア $A$ と $B$ の間のまれな遷移イベントを定量化するための数学的枠組みです。
TPT の中心となるのはコミッター関数です。これは、位相空間の任意の開始点から $A$ より前に準安定状態 $B$ に達する確率を記述します。
コミッターが計算されると、遷移チャネルと遷移レートを容易に見つけることができます。
コミッターは、適切な境界条件を使用した後退コルモゴロフ方程式の解です。
ただし、周囲空間の全領域をメッシュ化する必要があるため、これを高次元で解決するのは困難な作業です。
この研究では、コミッターを計算するためのツールとして有限表現法 (FEX、Liang and Yang (2022)) を検討します。
FEX は、固定有限数の非線形関数と 2 項算術演算を含む代数式によってコミッターを近似します。
式テンプレート内の最適な非線形関数、二項演算、および数値係数は、強化学習によって見つけられます。
FEX ベースのコミッター ソルバーは、いくつかの高次元ベンチマーク問題でテストされています。
ニューラル ネットワーク ベースのソルバーと同等以上の結果が得られます。
最も重要なことは、FEX は解の代数構造を正確に識別できるため、コミッター問題を低次元の問題に還元し、希望する精度でコミッターを見つけることができることです。

要約(オリジナル)

Transition path theory (TPT) is a mathematical framework for quantifying rare transition events between a pair of selected metastable states $A$ and $B$. Central to TPT is the committor function, which describes the probability to hit the metastable state $B$ prior to $A$ from any given starting point of the phase space. Once the committor is computed, the transition channels and the transition rate can be readily found. The committor is the solution to the backward Kolmogorov equation with appropriate boundary conditions. However, solving it is a challenging task in high dimensions due to the need to mesh a whole region of the ambient space. In this work, we explore the finite expression method (FEX, Liang and Yang (2022)) as a tool for computing the committor. FEX approximates the committor by an algebraic expression involving a fixed finite number of nonlinear functions and binary arithmetic operations. The optimal nonlinear functions, the binary operations, and the numerical coefficients in the expression template are found via reinforcement learning. The FEX-based committor solver is tested on several high-dimensional benchmark problems. It gives comparable or better results than neural network-based solvers. Most importantly, FEX is capable of correctly identifying the algebraic structure of the solution which allows one to reduce the committor problem to a low-dimensional one and find the committor with any desired accuracy.

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