Mathematical conjecture generation using machine intelligence

要約

予想は歴史的に純粋数学の発展において重要な役割を果たしてきました。
私たちは、機械知能を使用して数学的不等式に関する推測を生成するために、数学的データ内の抽象的なパターンを見つける体系的なアプローチを提案します。
f < g 型の厳密な不等式に焦点を当て、それらをベクトル空間に関連付けます。 この空間を幾何化することによって (これを推測空間と呼びます)、この空間がバナッハ多様体と同型であることを証明します。 我々は、この多様体の線形自己同型を研究することによってこの予想空間の構造的理解を発展させ、この空間がいくつかの自由な群作用を許容することを示します。 これらの洞察に基づいて、幾何勾配降下法を使用して新しい推測を生成するアルゴリズム パイプラインを提案します。この場合、メトリックは推測空間の不変性によって情報が与えられます。 概念の証明として、非アーベル単純群の素数計数関数とケイリー グラフの直径に関する新しい予想を生成するおもちゃのアルゴリズムを提供します。 また、いくつかの推測が証明された同僚とのプライベートなコミュニケーションについても報告し、この手順を使用して生成されたいくつかの推測がまだ証明されていないことを強調します。 最後に、この分野における数学的発見のパイプラインを提案し、このパイプラインにおける分野の専門知識の重要性を強調します。

要約(オリジナル)

Conjectures have historically played an important role in the development of pure mathematics. We propose a systematic approach to finding abstract patterns in mathematical data, in order to generate conjectures about mathematical inequalities, using machine intelligence. We focus on strict inequalities of type f < g and associate them with a vector space. By geometerising this space, which we refer to as a conjecture space, we prove that this space is isomorphic to a Banach manifold. We develop a structural understanding of this conjecture space by studying linear automorphisms of this manifold and show that this space admits several free group actions. Based on these insights, we propose an algorithmic pipeline to generate novel conjectures using geometric gradient descent, where the metric is informed by the invariances of the conjecture space. As proof of concept, we give a toy algorithm to generate novel conjectures about the prime counting function and diameters of Cayley graphs of non-abelian simple groups. We also report private communications with colleagues in which some conjectures were proved, and highlight that some conjectures generated using this procedure are still unproven. Finally, we propose a pipeline of mathematical discovery in this space and highlight the importance of domain expertise in this pipeline.

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